Номер 4, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Сформулируйте теорему Безу.

Теорема Безу, также известная как теорема об остатке, является одной из фундаментальных теорем в алгебре многочленов. Она устанавливает простую связь между значением многочлена в точке и остатком от деления этого многочлена на линейный двучлен.

Формулировка теоремы: Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть равен $P(a)$.

Доказательство: При делении любого многочлена $P(x)$ на ненулевой многочлен $D(x)$ можно получить частное $Q(x)$ и остаток $R(x)$, так что выполняется равенство: $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ При этом степень многочлена-остатка $R(x)$ всегда строго меньше степени многочлена-делителя $D(x)$.

В нашем случае делителем является линейный двучлен $D(x) = x - a$, степень которого равна 1. Следовательно, степень остатка $R(x)$ должна быть меньше 1, то есть быть равной 0. Это означает, что остаток является константой (числом), которую мы можем обозначить просто как $R$. Таким образом, равенство деления принимает вид: $P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R$

Это равенство справедливо для любого значения переменной $x$. Подставим в него значение $x = a$: $P(a) = (a - a) \cdot Q(a) + R$ $P(a) = 0 \cdot Q(a) + R$ $P(a) = R$ Это и доказывает теорему: остаток $R$ действительно равен значению многочлена $P(x)$ в точке $a$.

Следствие из теоремы Безу (Теорема о корне многочлена): Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x - a$ без остатка (нацело). Это прямо следует из теоремы:

• Если $a$ — корень, то по определению $P(a) = 0$. По теореме Безу, остаток $R = P(a)$, значит $R = 0$.
• Если $P(x)$ делится на $x - a$ нацело, то остаток $R = 0$. По теореме Безу, $P(a) = R$, значит $P(a) = 0$, и $a$ является корнем многочлена.

Пример применения: Найдем остаток от деления многочлена $P(x) = x^4 - 3x^3 + 6x - 4$ на двучлен $x-2$. В данном случае $a = 2$. Чтобы найти остаток, не нужно выполнять деление столбиком. Достаточно вычислить значение $P(2)$: $R = P(2) = (2)^4 - 3(2)^3 + 6(2) - 4 = 16 - 3 \cdot 8 + 12 - 4 = 16 - 24 + 12 - 4 = 0$. Остаток равен 0. Согласно следствию, это означает, что $x=2$ является корнем многочлена $P(x)$, и он делится на $x-2$ нацело.

Ответ: Теорема Безу гласит, что остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на линейный двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $R = P(a)$.