Номер 1, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Деление уголком и схема Горнера: что общего и в чём разница?

Деление многочлена на многочлен уголком (или столбиком) и схема Горнера — это два алгоритма, которые позволяют выполнить операцию деления многочленов. Хотя они приводят к одному и тому же результату в определённых случаях, они имеют существенные различия в принципе работы, области применения и эффективности.

Общее

Основная и единственная общность этих двух методов заключается в их конечной цели:

• Цель: Оба метода предназначены для нахождения частного $S(x)$ и остатка $R(x)$ при делении многочлена $P(x)$ (делимое) на многочлен $Q(x)$ (делитель). Результат представляется в виде: $P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x)$, где степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $Q(x)$.
• Результат: При делении многочлена $P(x)$ на линейный двучлен вида $(x-c)$, оба метода дадут абсолютно одинаковые частное и остаток.

Разница

Различия между методами гораздо более существенны и касаются их универсальности, формы записи и вычислительной сложности.

1. Область применения:
   • Деление уголком — это универсальный метод. Он позволяет разделить любой многочлен $P(x)$ на любой другой многочлен $Q(x)$ (ненулевой). Делитель может быть любой степени.
   • Схема Горнера — это узкоспециализированный метод. Он применим только для деления многочлена на линейный двучлен (бином) вида $(x-c)$. Использовать его для деления, например, на $x^2+1$ напрямую нельзя.
2. Алгоритм и форма записи:
   • Деление уголком напоминает обычное арифметическое деление столбиком. Операции производятся с целыми одночленами (например, $3x^3$ делится на $x$), и на каждом шаге выполняется вычитание многочленов. Запись довольно громоздкая.
   • Схема Горнера — это компактный табличный метод (иногда его называют "синтетическим делением"). Все операции производятся только с коэффициентами многочлена. Алгоритм состоит из последовательности умножений и сложений, что делает его очень быстрым и удобным для ручных вычислений.
3. Вычислительная эффективность:
   • Деление уголком требует большего числа операций и более сложных манипуляций (вычитание многочленов, работа со степенями).
   • Схема Горнера является самым эффективным с точки зрения вычислений алгоритмом для своей задачи. Она минимизирует количество арифметических операций. Именно поэтому она также используется для быстрого вычисления значения многочлена в точке $x=c$, так как по теореме Безу остаток от деления $P(x)$ на $(x-c)$ равен $P(c)$.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 4$ на $Q(x) = x - 2$.

1. Деление уголком:

 2x² - 3x + 4 (Частное) ___________________x-2 | 2x³ - 7x² + 10x - 4 -(2x³ - 4x²) ___________________ -3x² + 10x -(-3x² + 6x) ___________________ 4x - 4 -(4x - 8) _________ 4 (Остаток)

Результат: частное $S(x) = 2x^2 - 3x + 4$, остаток $R(x) = 4$.

2. Схема Горнера:

Выписываем коэффициенты многочлена $P(x)$: $2, -7, 10, -4$. Делим на $(x-2)$, значит $c=2$.

Числа в нижней строке (кроме последнего) — это коэффициенты частного: $2, -3, 4$. Значит, частное $S(x) = 2x^2 - 3x + 4$.
Последнее число в нижней строке — это остаток: $R(x) = 4$.

Как видно из примера, оба метода дали одинаковый результат, но схема Горнера более компактна и алгоритмически проще.

Ответ:
Общее: Оба метода служат для выполнения деления многочлена $P(x)$ на другой многочлен и приводят к одинаковому результату (частному и остатку), когда делителем является линейный двучлен вида $(x-c)$.
Разница:

• Универсальность: Деление уголком — универсальный метод, применимый для деления на многочлен любой степени. Схема Горнера — частный случай, работающий только при делении на линейный двучлен $(x-c)$.
• Процесс: Деление уголком — это громоздкая процедура, работающая с многочленами. Схема Горнера — это быстрый и компактный табличный алгоритм, оперирующий только коэффициентами.
• Эффективность: Для своей узкой задачи схема Горнера вычислительно гораздо эффективнее деления уголком.