Номер 3, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Приведите пример конкретных значений $b$ и $c$, когда равенство $\lg bc = \lg b + \lg c$ является верным, и пример, когда это равенство не является верным.

Пример, когда равенство является верным

Равенство $ \lg(bc) = \lg b + \lg c $ является одним из основных свойств логарифмов, которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Это свойство справедливо, когда все входящие в него выражения определены.

Функция десятичного логарифма $ \lg x $ определена только для положительных значений аргумента, то есть при $ x > 0 $.

Для того чтобы правая часть равенства, $ \lg b + \lg c $, была определена, необходимо, чтобы оба аргумента были положительными: $ b > 0 $ и $ c > 0 $.

Если это условие выполнено, то их произведение $ bc $ также будет положительным, а значит, левая часть $ \lg(bc) $ тоже будет определена. Таким образом, для любых положительных $ b $ и $ c $ равенство будет верным.

Возьмем в качестве примера $ b = 100 $ и $ c = 1000 $.

Подставим эти значения в равенство и проверим его истинность:

Левая часть: $ \lg(bc) = \lg(100 \cdot 1000) = \lg(100000) = 5 $.

Правая часть: $ \lg b + \lg c = \lg 100 + \lg 1000 = 2 + 3 = 5 $.

Поскольку левая и правая части равны ($ 5 = 5 $), равенство является верным.

Ответ: $ b = 100, c = 1000 $.

Пример, когда это равенство не является верным

Равенство не будет верным, если области определения его левой и правой частей не совпадают. Рассмотрим случай, когда левая часть определена, а правая — нет.

Левая часть $ \lg(bc) $ определена, когда ее аргумент положителен, то есть $ bc > 0 $. Это возможно в двух случаях:
1) $ b > 0 $ и $ c > 0 $ (оба числа положительные).
2) $ b < 0 $ и $ c < 0 $ (оба числа отрицательные).

Правая часть $ \lg b + \lg c $ определена только в первом случае, когда $ b > 0 $ и $ c > 0 $.

Следовательно, если мы выберем второй случай, где $ b $ и $ c $ оба отрицательны, левая часть будет иметь значение, а правая — нет. В такой ситуации равенство не может быть верным.

Возьмем в качестве примера $ b = -10 $ и $ c = -10 $.

Подставим эти значения:

Левая часть: $ \lg(bc) = \lg((-10) \cdot (-10)) = \lg(100) = 2 $. Левая часть определена и равна 2.

Правая часть: $ \lg b + \lg c = \lg(-10) + \lg(-10) $. Так как логарифм от отрицательного числа не определен в области действительных чисел, то правая часть равенства не имеет смысла.

Поскольку определенное значение (2) не может равняться неопределенному выражению, равенство не является верным для данных значений.

Ответ: $ b = -10, c = -10 $.