Номер 5, страница 131, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Что называют мантиссой десятичного логарифма числа $b$?

Приведите пример трёх чисел (отличный от примера на с. 126) с одинаковой мантиссой их десятичного логарифма.

Что называют мантиссой десятичного логарифма числа b?

Десятичный логарифм (обозначается как $lg(b)$) любого положительного числа $b$ можно представить в виде суммы целого числа и неотрицательной правильной дроби. Эта неотрицательная дробная часть и называется мантиссой десятичного логарифма. Целая часть называется характеристикой.

Таким образом, десятичный логарифм числа $b$ можно записать в виде: $lg(b) = p + m$

где $p$ — характеристика логарифма, являющаяся целым числом ($p \in \mathbb{Z}$). Она находится как целая часть от логарифма: $p = \lfloor lg(b) \rfloor$.

А $m$ — мантисса логарифма, которая должна удовлетворять неравенству $0 \le m < 1$.

Мантиссу можно вычислить по формуле $m = lg(b) - p = lg(b) - \lfloor lg(b) \rfloor$. Важно отметить, что мантисса по определению всегда неотрицательна. Например, если $lg(b) \approx -2.35$, то его можно представить как $-3 + 0.65$. Здесь характеристика $p = -3$, а мантисса $m = 0.65$.

Ответ: Мантиссой десятичного логарифма числа $b$ называют его неотрицательную дробную часть $m$ ($0 \le m < 1$), получаемую при представлении логарифма в виде суммы целого числа (характеристики) и этой дробной части.

Приведите пример трёх чисел (отличный от примера на с. 126) с одинаковой мантиссой их десятичного логарифма.

Мантисса десятичного логарифма определяется последовательностью значащих цифр в числе и не зависит от положения десятичной запятой. Это означает, что числа, которые отличаются друг от друга в $10^k$ раз, где $k$ — любое целое число, будут иметь одинаковую мантиссу.

Рассмотрим в качестве примера три числа: 7.85, 785 и 0.0785.

1. Для числа 7.85:
Запишем его в стандартном виде: $7.85 \cdot 10^0$.
$lg(7.85) = lg(7.85 \cdot 10^0) = lg(7.85) + lg(10^0) = lg(7.85) + 0$.
Характеристика $p = 0$, а мантисса $m = lg(7.85) \approx 0.8949$.

2. Для числа 785:
Запишем его в стандартном виде: $7.85 \cdot 10^2$.
$lg(785) = lg(7.85 \cdot 10^2) = lg(7.85) + lg(10^2) = lg(7.85) + 2$.
Характеристика $p = 2$, а мантисса та же: $m = lg(7.85) \approx 0.8949$.

3. Для числа 0.0785:
Запишем его в стандартном виде: $7.85 \cdot 10^{-2}$.
$lg(0.0785) = lg(7.85 \cdot 10^{-2}) = lg(7.85) + lg(10^{-2}) = lg(7.85) - 2$.
$lg(0.0785) \approx 0.8949 - 2 = -1.1051$. Чтобы выделить неотрицательную мантиссу, представим это число как: $-2 + 0.8949$.
Характеристика $p = -2$, а мантисса снова та же: $m = lg(7.85) \approx 0.8949$.

Таким образом, у всех трех чисел мантисса их десятичного логарифма одинакова и равна $lg(7.85)$.

Ответ: 7.85; 785; 0.0785.