Номер 5, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$? уравнение $\log_2 x = 3 - x$? Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$?

Для определения количества корней уравнения рассмотрим две функции: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = \frac{1}{x}$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

Область определения для обеих функций в данном уравнении — $x > 0$.

Проанализируем поведение функций на этом интервале:

• Функция $y_1 = \log_2 x$ является логарифмической с основанием больше 1, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения $(0, +\infty)$.
• Функция $y_2 = \frac{1}{x}$ (гипербола) для $x > 0$ является строго убывающей.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза.

Чтобы доказать, что пересечение действительно существует, проверим значения функций на границах интервала.

• При $x \to 0^+$, $y_1 = \log_2 x \to -\infty$, а $y_2 = \frac{1}{x} \to +\infty$. То есть, $y_1 < y_2$.
• При $x = 2$, $y_1 = \log_2 2 = 1$, а $y_2 = \frac{1}{2}$. То есть, $y_1 > y_2$.

Так как обе функции непрерывны на $(0, +\infty)$ и разность $y_1 - y_2$ меняет знак (с отрицательного на положительный), то по теореме о промежуточном значении существует точка, в которой $y_1 = y_2$. Учитывая, что такая точка может быть только одна, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: уравнение имеет один корень.

Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = 3 - x$?

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим функции $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 3 - x$.

Область определения $x > 0$.

• Функция $y_1 = \log_2 x$ — строго возрастающая.
• Функция $y_2 = 3 - x$ — линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, она строго убывающая.

Из-за различной монотонности функции могут иметь не более одной точки пересечения.

Попробуем найти корень подбором, проверяя небольшие целые числа, которые являются степенями двойки, чтобы упростить логарифм.

Проверим $x=2$:

Левая часть: $\log_2 2 = 1$.

Правая часть: $3 - 2 = 1$.

Поскольку $1 = 1$, то $x=2$ является корнем уравнения. Так как мы уже установили, что корень может быть только один, это и есть единственное решение.

Ответ: уравнение имеет один корень.

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Решить уравнение устно — значит найти его точное значение без сложных вычислений, как правило, путем подбора.

• Для уравнения $\log_2 x = \frac{1}{x}$ мы доказали, что корень существует и он один. Мы также видели, что при $x=1$ левая часть (0) меньше правой (1), а при $x=2$ левая часть (1) больше правой (0.5). Значит, корень находится в интервале $(1, 2)$. Это не целое число, и найти его точное значение устно не представляется возможным.
• Для уравнения $\log_2 x = 3 - x$ мы легко нашли корень $x=2$ путем простой подстановки. Так как корень единственный, мы полностью решили уравнение.

Следовательно, второе уравнение можно решить устно.

Ответ: устно можно решить уравнение $\log_2 x = 3 - x$.