Номер 25.10, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.10, страница 162.

25.10. Вероятность рождения мальчика примем равной 50 %.

Найдите вероятность того, что среди 400 новорождённых будет ровно:

а) 220 мальчиков;

б) 180 девочек;

в) 210 мальчиков;

г) 300 девочек.

Для решения данной задачи мы используем схему испытаний Бернулли. У нас есть $n=400$ независимых испытаний (рождений), и вероятность «успеха» (рождения мальчика) в каждом испытании равна $p=0.5$. Так как количество испытаний $n$ велико, для нахождения вероятности того, что событие наступит ровно $k$ раз, применяется локальная теорема Муавра-Лапласа. Формула имеет вид:$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$где $q = 1-p$, $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$, а $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ — это функция плотности вероятности для стандартного нормального распределения.

Вычислим параметры для этой задачи:
- Количество испытаний: $n = 400$.
- Вероятность рождения мальчика: $p = 0.5$.
- Вероятность рождения девочки: $q = 1 - 0.5 = 0.5$.
- Математическое ожидание (среднее число успехов): $E(X) = np = 400 \cdot 0.5 = 200$.
- Среднеквадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{400 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{100} = 10$.
Таким образом, приближенная формула для вероятности $P_{400}(k)$ (вероятности рождения ровно $k$ мальчиков или девочек) выглядит так:$P_{400}(k) \approx \frac{1}{10} \phi\left(\frac{k - 200}{10}\right)$.
Значения функции $\phi(x)$ берутся из таблиц стандартного нормального распределения.

а) 220 мальчиков

Ищем вероятность того, что родится ровно $k = 220$ мальчиков.
1. Находим значение аргумента $x$ для функции $\phi(x)$:$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{220 - 200}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
2. Находим значение функции $\phi(x)$ для $x=2$. Из таблицы значений функции Гаусса: $\phi(2) \approx 0.0540$.
3. Вычисляем искомую вероятность:$P_{400}(220) \approx \frac{1}{10} \phi(2) \approx \frac{1}{10} \cdot 0.0540 = 0.0054$.
Ответ: $0.0054$.

б) 180 девочек

Ищем вероятность того, что родится ровно $k = 180$ девочек. Вероятность рождения девочки также равна $0.5$, поэтому все расчетные параметры ($np$ и $\sigma$) остаются прежними.
1. Находим значение аргумента $x$:$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{180 - 200}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.
2. Находим значение функции $\phi(x)$ для $x=-2$. Функция $\phi(x)$ является четной, то есть $\phi(-x) = \phi(x)$. Следовательно, $\phi(-2) = \phi(2) \approx 0.0540$.
3. Вычисляем искомую вероятность:$P_{400}(180) \approx \frac{1}{10} \phi(-2) \approx \frac{1}{10} \cdot 0.0540 = 0.0054$.
(Заметим, что событие «родилось 180 девочек» из 400 новорожденных эквивалентно событию «родилось $400 - 180 = 220$ мальчиков», поэтому результат совпадает с пунктом а)).
Ответ: $0.0054$.

в) 210 мальчиков

Ищем вероятность того, что родится ровно $k = 210$ мальчиков.
1. Находим значение аргумента $x$:$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{210 - 200}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
2. Находим значение функции $\phi(x)$ для $x=1$. Из таблицы значений функции Гаусса: $\phi(1) \approx 0.2420$.
3. Вычисляем искомую вероятность:$P_{400}(210) \approx \frac{1}{10} \phi(1) \approx \frac{1}{10} \cdot 0.2420 = 0.0242$.
Ответ: $0.0242$.

г) 300 девочек

Ищем вероятность того, что родится ровно $k = 300$ девочек.
1. Находим значение аргумента $x$:$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{300 - 200}{10} = \frac{100}{10} = 10$.
2. Находим значение функции $\phi(x)$ для $x=10$.$\phi(10) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-10^2/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-50}$.Это чрезвычайно малое число: $\phi(10) \approx 7.69 \times 10^{-23}$.
3. Вычисляем искомую вероятность:$P_{400}(300) \approx \frac{1}{10} \phi(10) \approx \frac{1}{10} \cdot (7.69 \times 10^{-23}) \approx 7.69 \times 10^{-24}$.
Вероятность такого события пренебрежимо мала и практически равна нулю.
Ответ: $\approx 7.69 \times 10^{-24}$ (практически 0).