Номер 25.3, страница 162, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.3, страница 162.

В пунктах а) – г) задач 25.3–25.5 следует заполнить пропуски в приведённых формулах для подсчёта вероятностей по теореме Бернулли, если известно, что вероятность $p$ успеха не меньше вероятности $q$ неудачи:

25.3. а) $P_{10}(3) = C_{?}^{?} \cdot 0.6^{?} \cdot ?^{?}$

б) $P_{100}(99) = C_{?}^{?} \cdot 0.1^{?} \cdot ?^{?}$

в) $P_{20}(5) = C_{?}^{?} \cdot 0.3^{?} \cdot ?^{?}$

г) $P_{1000}(0) = 0.2^{?}$

Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли для вероятности $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$
Здесь $n$ — общее число испытаний, $k$ — число успехов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q=1-p$ — вероятность неудачи.
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.
По условию, вероятность успеха $p$ не меньше вероятности неудачи $q$, то есть $p \ge q$. Из этого и условия $p+q=1$ следует, что $p \ge 0,5$ и $q \le 0,5$.

а) В выражении $P_{10}(3)$ дано общее число испытаний $n=10$ и число успехов $k=3$.
Формула Бернулли для этих значений: $P_{10}(3) = C_{10}^3 p^3 q^{10-3} = C_{10}^3 p^3 q^7$.
В предложенном для заполнения выражении $P_{10}(3) = C_?^? \cdot 0,6^? \cdot ?^?$ есть множитель с основанием $0,6$.
Поскольку $0,6 \ge 0,5$, это значение является вероятностью успеха: $p = 0,6$.
Тогда вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.
Теперь заполняем пропуски в формуле, подставляя все известные значения:
$C_n^k \rightarrow C_{10}^3$
$p^k \rightarrow 0,6^3$
$q^{n-k} \rightarrow 0,4^7$
Ответ: $P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot 0,6^3 \cdot 0,4^7$

б) В выражении $P_{100}(99)$ дано $n=100$ и $k=99$.
Формула Бернулли: $P_{100}(99) = C_{100}^{99} p^{99} q^{100-99} = C_{100}^{99} p^{99} q^1$.
В выражении $P_{100}(99) = C_?^? \cdot 0,1^? \cdot ?^?$ есть множитель с основанием $0,1$.
Поскольку $0,1 \le 0,5$, это значение является вероятностью неудачи: $q = 0,1$.
Тогда вероятность успеха $p = 1 - q = 1 - 0,1 = 0,9$.
Множители в формуле Бернулли: $C_{100}^{99}$, $p^{99} = 0,9^{99}$ и $q^1 = 0,1^1$.
Заполняем пропуски в предложенном выражении, учитывая порядок множителей:
$C_?^? \rightarrow C_{100}^{99}$
$0,1^? \rightarrow 0,1^1$ (соответствует $q^{n-k}$)
$?^? \rightarrow 0,9^{99}$ (соответствует $p^k$)
Ответ: $P_{100}(99) = C_{100}^{99} \cdot 0,9^{99} \cdot 0,1^1$

в) В выражении $P_{20}(5)$ дано $n=20$ и $k=5$.
Формула Бернулли: $P_{20}(5) = C_{20}^5 p^5 q^{20-5} = C_{20}^5 p^5 q^{15}$.
В выражении $P_{20}(5) = C_?^? \cdot 0,3^? \cdot ?^?$ есть множитель с основанием $0,3$.
Поскольку $0,3 \le 0,5$, это значение является вероятностью неудачи: $q = 0,3$.
Тогда вероятность успеха $p = 1 - q = 1 - 0,3 = 0,7$.
Множители в формуле Бернулли: $C_{20}^5$, $p^5 = 0,7^5$ и $q^{15} = 0,3^{15}$.
Заполняем пропуски в предложенном выражении, учитывая порядок множителей:
$C_?^? \rightarrow C_{20}^5$
$0,3^? \rightarrow 0,3^{15}$ (соответствует $q^{n-k}$)
$?^? \rightarrow 0,7^5$ (соответствует $p^k$)
Ответ: $P_{20}(5) = C_{20}^5 \cdot 0,7^5 \cdot 0,3^{15}$

г) В выражении $P_{1000}(0)$ дано $n=1000$ и $k=0$.
Формула Бернулли: $P_{1000}(0) = C_{1000}^0 p^0 q^{1000-0}$.
Так как $C_{1000}^0 = 1$ и $p^0=1$, формула упрощается до $P_{1000}(0) = q^{1000}$.
Нам дано выражение $P_{1000}(0) = 0,2^?$.
Сравнивая его с полученной формулой, заключаем, что $q=0,2$, а недостающий показатель степени равен $1000$.
Проверим выполнение условия $p \ge q$. $p = 1 - q = 1 - 0,2 = 0,8$. Условие $0,8 \ge 0,2$ выполняется.
Ответ: $P_{1000}(0) = 0,2^{1000}$