Номер 24.19, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.19, страница 160.

24.19. Таблица распределения кратностей имеет вид:

Варианта: 0, 1, 3, 5, 6

Кратность: 19, 2, $3x - 1$, 5, $4x - 7$

а) Выразите среднее значение через $x$.

б) Как выглядит график зависимости среднего значения от $x$?

в) Каким может быть число $x$, если модой является 0?

г) Может ли мода распределения равняться трём?

а) Выразите среднее значение через x.

Среднее значение для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:
$\bar{y} = \frac{\sum{y_i \cdot n_i}}{\sum{n_i}}$
где $y_i$ — это значения варианты, а $n_i$ — соответствующие им кратности (частоты).

В данном случае:
Варианты $y_i$: 0, 1, 3, 5, 6.
Кратности $n_i$: 19, 2, $3x - 1$, 5, $4x - 7$.

Сначала найдем сумму произведений вариант на их кратности:
$\sum{y_i \cdot n_i} = 0 \cdot 19 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot (3x - 1) + 5 \cdot 5 + 6 \cdot (4x - 7)$
$= 0 + 2 + 9x - 3 + 25 + 24x - 42$
$= (9x + 24x) + (2 - 3 + 25 - 42) = 33x - 18$.

Теперь найдем сумму всех кратностей (объем выборки):
$\sum{n_i} = 19 + 2 + (3x - 1) + 5 + (4x - 7)$
$= (3x + 4x) + (19 + 2 - 1 + 5 - 7) = 7x + 18$.

Кратности не могут быть отрицательными, поэтому должны выполняться условия:
$3x - 1 \ge 0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$
$4x - 7 \ge 0 \implies 4x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{4}$
Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому область определения для $x$ есть $x \ge \frac{7}{4}$.

Тогда среднее значение $\bar{y}$ как функция от $x$ равно:
$\bar{y}(x) = \frac{33x - 18}{7x + 18}$.

Ответ: $\bar{y}(x) = \frac{33x - 18}{7x + 18}$, при $x \ge \frac{7}{4}$.

б) Как выглядит график зависимости среднего значения от x?

Функция зависимости среднего значения от $x$ имеет вид $\bar{y}(x) = \frac{33x - 18}{7x + 18}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола.

Асимптоты гиперболы:
Вертикальная асимптота: $7x + 18 = 0 \implies x = -\frac{18}{7}$.
Горизонтальная асимптота: $y = \frac{33}{7}$.

Область определения функции, как было найдено в пункте а), это $x \ge \frac{7}{4}$. Так как $\frac{7}{4} = 1.75$, а $-\frac{18}{7} \approx -2.57$, вертикальная асимптота находится вне области определения. Следовательно, график представляет собой одну ветвь гиперболы.

Чтобы определить характер монотонности функции, найдем ее производную:
$\bar{y}'(x) = \left(\frac{33x - 18}{7x + 18}\right)' = \frac{33(7x+18) - 7(33x-18)}{(7x+18)^2} = \frac{231x + 594 - 231x + 126}{(7x+18)^2} = \frac{720}{(7x+18)^2}$.
Поскольку $(7x+18)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $\bar{y}'(x)$ всегда положительна. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $x \ge \frac{7}{4}$.

Найдем начальную точку графика:
При $x = \frac{7}{4}$, $\bar{y}(\frac{7}{4}) = \frac{33(\frac{7}{4}) - 18}{7(\frac{7}{4}) + 18} = \frac{\frac{231-72}{4}}{\frac{49+72}{4}} = \frac{159}{121} \approx 1.31$.

Ответ: График является ветвью гиперболы, которая возрастает на всей области определения $x \ge \frac{7}{4}$, начинается в точке $(\frac{7}{4}; \frac{159}{121})$ и асимптотически приближается снизу к горизонтальной прямой $y = \frac{33}{7}$.

в) Каким может быть число x, если модой является 0?

Мода — это варианта с наибольшей кратностью. В данном распределении кратности равны: $n_0=19$, $n_1=2$, $n_3=3x-1$, $n_5=5$, $n_6=4x-7$.
Чтобы модой была варианта 0, ее кратность (19) должна быть строго больше всех остальных кратностей (чтобы мода была единственной).

Запишем соответствующие неравенства:
$19 > 2$ (верно)
$19 > 5$ (верно)
$19 > 3x - 1 \implies 20 > 3x \implies x < \frac{20}{3} \approx 6.67$
$19 > 4x - 7 \implies 26 > 4x \implies x < \frac{26}{4} = 6.5$

Также необходимо учесть, что кратности по определению являются целыми неотрицательными числами. Условие, что $3x-1$ и $4x-7$ являются целыми, выполняется, если $x$ — целое число. Из условия неотрицательности кратностей ($x \ge \frac{7}{4} = 1.75$) следует, что $x$ должно быть целым числом не меньше 2.

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должно быть целым числом, удовлетворяющим условиям $x \ge 2$ и $x < 6.5$.
Таким образом, возможные значения для $x$: 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: $x$ может быть любым целым числом из множества $\{2, 3, 4, 5, 6\}$.

г) Может ли мода распределения равняться трём?

Чтобы модой была варианта 3, ее кратность $n_3 = 3x - 1$ должна быть наибольшей. Это означает, что она должна быть больше или равна всем остальным кратностям.

Рассмотрим два ключевых неравенства, которые должны выполняться одновременно:
1) Кратность $n_3$ должна быть не меньше самой большой из известных кратностей, то есть $n_0 = 19$:
$3x - 1 \ge 19 \implies 3x \ge 20 \implies x \ge \frac{20}{3} \approx 6.67$.
2) Кратность $n_3$ должна быть не меньше кратности $n_6$:
$3x - 1 \ge 4x - 7 \implies -1 + 7 \ge 4x - 3x \implies 6 \ge x$.

Мы получили систему из двух противоречащих друг другу условий для $x$:
$x \ge \frac{20}{3}$ (т.е. $x \ge 6.67$)
$x \le 6$

Не существует числа $x$, которое одновременно было бы больше или равно 6.67 и меньше или равно 6. Следовательно, мода данного распределения не может равняться трём.

Ответ: Нет, не может.