Номер 24.20, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.20, страница 161.

24.20. Таблица распределения кратностей имеет вид:

Варианта: 0, 1, 3, 5, 6

Кратность: 10, $2x$, $3x - 1$, 5, $x + 5$

a) Выразите через $x$ среднее значение.

б) Как выглядит график зависимости среднего значения от $x$?

в) Каким может быть $x$, если модой является $0$?

г) Может ли мода распределения равняться единице?

Прежде всего, определим область допустимых значений для переменной $x$. Поскольку кратности (частоты) должны быть неотрицательными целыми числами, мы имеем следующие условия:

• $f_2 = 2x \ge 0 \implies x \ge 0$. Так как $2x$ должно быть целым, $x$ может быть вида $k/2$.
• $f_3 = 3x - 1 \ge 0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge 1/3$. Так как $3x-1$ должно быть целым, $3x$ должно быть целым.
• $f_5 = x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$. Так как $x+5$ должно быть целым, $x$ должен быть целым.

Из последнего условия следует, что $x$ должен быть целым числом. Учитывая это, все условия выполняются, если $x$ — целое число и $x \ge 1$. Таким образом, $x \in \{1, 2, 3, ...\}$.

а) Выразите через x среднее значение.

Среднее значение $(\bar{v})$ для ряда распределения вычисляется как отношение суммы произведений вариант на их кратности к сумме всех кратностей. Формула для среднего значения:

$\bar{v} = \frac{\sum_{i=1}^{n} v_i f_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$

Где $v_i$ — варианты, а $f_i$ — их кратности.

1. Найдем сумму произведений вариант на их кратности (числитель):

$\sum v_i f_i = (0 \cdot 10) + (1 \cdot 2x) + (3 \cdot (3x - 1)) + (5 \cdot 5) + (6 \cdot (x + 5))$

$\sum v_i f_i = 0 + 2x + 9x - 3 + 25 + 6x + 30 = 17x + 52$

2. Найдем сумму всех кратностей (знаменатель), то есть объем выборки:

$\sum f_i = 10 + 2x + (3x - 1) + 5 + (x + 5)$

$\sum f_i = 10 + 2x + 3x - 1 + 5 + x + 5 = 6x + 19$

3. Выразим среднее значение через $x$:

$\bar{v}(x) = \frac{17x + 52}{6x + 19}$

Ответ: Среднее значение выражается формулой $\bar{v}(x) = \frac{17x + 52}{6x + 19}$, где $x$ — целое число и $x \ge 1$.

б) Как выглядит график зависимости среднего значения от x?

Зависимость среднего значения от $x$ задается функцией $y = \frac{17x + 52}{6x + 19}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола.

Найдем асимптоты этой гиперболы:

• Вертикальная асимптота: $6x + 19 = 0 \implies x = -\frac{19}{6} \approx -3.17$.
• Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x \to \infty} \frac{17x + 52}{6x + 19} = \frac{17}{6} \approx 2.83$.

Однако, как мы установили ранее, переменная $x$ может принимать только целые значения, начиная с 1 ($x \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, график зависимости среднего значения от $x$ представляет собой не сплошную линию (гиперболу), а множество отдельных точек, которые лежат на этой гиперболе.

Исследуем поведение функции на области определения $x \ge 1$. Найдем производную:

$y' = \left(\frac{17x + 52}{6x + 19}\right)' = \frac{17(6x+19) - 6(17x+52)}{(6x+19)^2} = \frac{102x + 323 - 102x - 312}{(6x+19)^2} = \frac{11}{(6x+19)^2}$

Поскольку производная $y' > 0$ при всех допустимых $x$, функция является возрастающей. Значения среднего будут увеличиваться с ростом $x$, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y = 17/6$ снизу.

Ответ: График зависимости — это множество дискретных точек $(x, \bar{v}(x))$ для целых $x \ge 1$, которые лежат на возрастающей ветви гиперболы $y = \frac{17x + 52}{6x + 19}$ и асимптотически приближаются к прямой $y = 17/6$.

в) Каким может быть x, если модой является 0?

Мода — это варианта с наибольшей кратностью. Чтобы варианта 0 была модой, ее кратность, равная 10, должна быть строго больше всех остальных кратностей.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 10 > 2x \\ 10 > 3x - 1 \\ 10 > 5 \\ 10 > x + 5 \end{cases} $

Решим эти неравенства:

$ \begin{cases} x < 5 \\ 11 > 3x \implies x < 11/3 \approx 3.67 \\ \text{верно} \\ x < 5 \end{cases} $

Наиболее сильным является неравенство $x < 11/3$. Учитывая, что $x$ — целое число и $x \ge 1$, получаем возможные значения для $x$: 1, 2, 3.

Ответ: $x$ может быть равен 1, 2 или 3.

г) Может ли мода распределения равняться единице?

Чтобы варианта 1 была модой, ее кратность $f_2 = 2x$ должна быть строго больше всех остальных кратностей.

Составим соответствующую систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x > 10 \\ 2x > 3x - 1 \\ 2x > 5 \\ 2x > x + 5 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} x > 5 \\ 1 > x \\ x > 2.5 \\ x > 5 \end{cases} $

В этой системе есть два противоречащих друг другу условия: $x > 5$ и $x < 1$. Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше 5 и меньше 1. Следовательно, эта система неравенств не имеет решений.

Это означает, что варианта 1 не может быть единственной модой ни при каком допустимом значении $x$. Даже если рассмотреть нестрогие неравенства (случай нескольких мод), решения не найдется. Например, при $x=5$ кратность $f_3=14$ будет больше, чем $f_2=10$.

Ответ: Нет, мода распределения не может равняться единице.