Номер 24.18, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.18, страница 160.

24.18. После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение равно 10» и таблица:

Варианта | 4 | 7 | 11

Кратность | 5 | 2 |

a) Какое число должно быть записано в пустой клетке?

б) Найдите размах и моду распределения.

в) Вычислите среднее квадратическое отклонение.

г) Может ли среднее значение равняться пяти при каком-нибудь заполнении пустой клетки?

а) Какое число должно быть записано в пустой клетке?

Обозначим неизвестную кратность для варианты 11 через $n_3$. Среднее значение выборки ($\bar{x}$) вычисляется по формуле среднего взвешенного:
$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}$
В нашем случае даны варианты $x_1 = 4$, $x_2 = 7$, $x_3 = 11$ и их кратности $n_1 = 5$, $n_2 = 2$. Из условия известно, что среднее значение равно 10.
Подставим известные значения в формулу:
$10 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 11 \cdot n_3}{5 + 2 + n_3}$
$10 = \frac{20 + 14 + 11 n_3}{7 + n_3}$
$10 = \frac{34 + 11 n_3}{7 + n_3}$
Решим это уравнение относительно $n_3$:
$10(7 + n_3) = 34 + 11 n_3$
$70 + 10 n_3 = 34 + 11 n_3$
$11 n_3 - 10 n_3 = 70 - 34$
$n_3 = 36$
Следовательно, в пустой клетке должно быть записано число 36.

Ответ: 36

б) Найдите размах и моду распределения.

После нахождения неизвестной кратности, таблица распределения выглядит следующим образом:
Варианта: 4, 7, 11
Кратность: 5, 2, 36

Размах распределения — это разность между наибольшей и наименьшей вариантой.
Наибольшая варианта: $x_{max} = 11$.
Наименьшая варианта: $x_{min} = 4$.
Размах = $11 - 4 = 7$.

Мода распределения — это варианта с наибольшей кратностью.
Кратности равны 5, 2 и 36. Наибольшая кратность — 36, которая соответствует варианте 11.
Следовательно, мода равна 11.

Ответ: размах равен 7, мода равна 11.

в) Вычислите среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии ($D$). Дисперсия для сгруппированных данных вычисляется по формуле:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$
Используем данные из задачи:
Варианты: $x_1=4, x_2=7, x_3=11$.
Кратности: $n_1=5, n_2=2, n_3=36$.
Среднее значение: $\bar{x}=10$.
Общее число наблюдений (сумма кратностей): $N = 5 + 2 + 36 = 43$.

Вычислим дисперсию:
$D = \frac{(4 - 10)^2 \cdot 5 + (7 - 10)^2 \cdot 2 + (11 - 10)^2 \cdot 36}{43}$
$D = \frac{(-6)^2 \cdot 5 + (-3)^2 \cdot 2 + 1^2 \cdot 36}{43}$
$D = \frac{36 \cdot 5 + 9 \cdot 2 + 1 \cdot 36}{43}$
$D = \frac{180 + 18 + 36}{43}$
$D = \frac{234}{43}$

Теперь найдем среднее квадратическое отклонение как корень из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{234}{43}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{234}{43}}$

г) Может ли среднее значение равняться пяти при каком-нибудь заполнении пустой клетки?

Предположим, что среднее значение может равняться 5. Обозначим, как и ранее, неизвестную кратность через $n_3$ и подставим $\bar{x}=5$ в формулу для среднего значения:
$5 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 11 \cdot n_3}{5 + 2 + n_3}$
$5 = \frac{20 + 14 + 11 n_3}{7 + n_3}$
$5 = \frac{34 + 11 n_3}{7 + n_3}$
Решим полученное уравнение:
$5(7 + n_3) = 34 + 11 n_3$
$35 + 5 n_3 = 34 + 11 n_3$
$35 - 34 = 11 n_3 - 5 n_3$
$1 = 6 n_3$
$n_3 = \frac{1}{6}$
Кратность (частота) варианты по определению является целым неотрицательным числом, так как она показывает, сколько раз данное значение встречается в выборке. Полученное значение $n_3 = \frac{1}{6}$ не является целым числом.
Следовательно, среднее значение не может равняться пяти, так как для этого требуется нецелочисленная кратность.

Ответ: нет, не может.