Номер 24.11, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.11, страница 159.

В задачах 24.11—24.16 рассматриваются результаты, которые получили выпускники одной из школ за сочинение. Выставлялись две оценки: первая — по литературе, вторая — по русскому языку. Оценки таковы:

5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2 4/4 4/2 2/1
3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2 2/3 4/3 5/4 2/3 3/3

24.11. Для оценок по литературе:

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

б) составьте таблицу распределения кратностей;

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

г) найдите среднее.

Для выполнения заданий сначала выпишем ряд данных, состоящий из оценок по литературе. Согласно условию, это первая оценка в каждой паре.

Исходные пары оценок (литература/русский язык): 5/4, 4/5, 3/1, 4/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3, 3/3, 1/2, 4/4, 4/2, 2/1, 3/5, 3/4, 4/3, 5/5, 4/4, 5/4, 2/2, 2/3, 4/3, 5/4, 2/3, 3/3.

Выпишем оценки по литературе (первая оценка в каждой паре):

5, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 1, 4, 4, 2, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 2, 4, 5, 2, 3.

Всего в ряду данных $N = 25$ оценок.

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

Сгруппированный (или упорядоченный) ряд данных получается путем расположения всех оценок в порядке возрастания.

1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

Ответ: 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

б) составьте таблицу распределения кратностей;

Кратность (или абсолютная частота) — это количество повторений каждой оценки в ряду данных. Составим таблицу, в которой для каждой уникальной оценки (варианты) укажем ее кратность.

• Оценка "1" встречается 1 раз.
• Оценка "2" встречается 5 раз.
• Оценка "3" встречается 6 раз.
• Оценка "4" встречается 8 раз.
• Оценка "5" встречается 5 раз.

Проверка: $1 + 5 + 6 + 8 + 5 = 25$, что соответствует общему числу оценок.

Таблица распределения кратностей:

Оценка ($x_i$)	Кратность ($n_i$)
1	1
2	5
3	6
4	8
5	5
Итого	25

Ответ: Таблица приведена выше.

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

Сначала найдем процентные частоты для каждой оценки. Процентная частота $P_i$ вычисляется по формуле $P_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$, где $n_i$ — кратность оценки, а $N=25$ — общее число оценок.

• Для оценки "1": $P_1 = \frac{1}{25} \times 100\% = 4\%$
• Для оценки "2": $P_2 = \frac{5}{25} \times 100\% = 20\%$
• Для оценки "3": $P_3 = \frac{6}{25} \times 100\% = 24\%$
• Для оценки "4": $P_4 = \frac{8}{25} \times 100\% = 32\%$
• Для оценки "5": $P_5 = \frac{5}{25} \times 100\% = 20\%$

Для построения многоугольника распределения (полигона частот) на координатной плоскости по оси абсцисс (X) откладываем оценки, а по оси ординат (Y) — соответствующие им процентные частоты. Затем соединяем полученные точки отрезками.

Точки для построения: (1; 4), (2; 20), (3; 24), (4; 32), (5; 20).

Ответ: Многоугольник распределения процентных частот построен на графике выше.

г) найдите среднее.

Среднее арифметическое ряда данных (средняя оценка) вычисляется как отношение суммы всех оценок к их количеству. Удобнее использовать формулу для взвешенного среднего, используя таблицу кратностей:

$\bar{x} = \frac{\sum{x_i \cdot n_i}}{N}$

где $x_i$ — оценка, $n_i$ — её кратность, $N$ — общее число оценок.

Вычислим сумму произведений оценок на их кратности:

$\sum{x_i \cdot n_i} = (1 \cdot 1) + (2 \cdot 5) + (3 \cdot 6) + (4 \cdot 8) + (5 \cdot 5) = 1 + 10 + 18 + 32 + 25 = 86.$

Общее количество оценок $N=25$.

Найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{86}{25} = 3.44$

Ответ: 3.44