Номер 24.4, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.4, страница 156.

24.4. а) Найдите отклонения вариант от среднего значения.

б) Проверьте, что сумма всех отклонений равна нулю.

в) Найдите квадраты отклонений и сумму квадратов отклонений от среднего.

г) Вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку в условии задачи не предоставлен ряд данных (набор вариант), для демонстрации решения воспользуемся следующим гипотетическим набором чисел: 2, 4, 5, 6, 8. В этом наборе 5 элементов ($n=5$).

а) Найдите отклонения вариант от среднего значения.

1. Сначала найдем среднее арифметическое значение ($\bar{x}$) для нашего набора данных. Среднее значение вычисляется как сумма всех элементов, деленная на их количество.

Формула среднего значения: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 5 + 6 + 8}{5} = \frac{25}{5} = 5$

2. Теперь найдем отклонение каждой варианты от среднего значения. Отклонение — это разность между значением варианты и средним значением ($x_i - \bar{x}$).

• Для $x_1 = 2$: отклонение = $2 - 5 = -3$
• Для $x_2 = 4$: отклонение = $4 - 5 = -1$
• Для $x_3 = 5$: отклонение = $5 - 5 = 0$
• Для $x_4 = 6$: отклонение = $6 - 5 = 1$
• Для $x_5 = 8$: отклонение = $8 - 5 = 3$

Ответ: Отклонения вариант от среднего значения равны -3, -1, 0, 1, 3.

б) Проверьте, что сумма всех отклонений равна нулю.

Сложим все найденные в пункте а) отклонения:

Сумма отклонений = $(-3) + (-1) + 0 + 1 + 3 = -4 + 4 = 0$.

Сумма действительно равна нулю. Это является свойством среднего арифметического: сумма отклонений значений от среднего всегда равна нулю.

Ответ: Сумма всех отклонений равна $0$, что подтверждает свойство среднего значения.

в) Найдите квадраты отклонений и сумму квадратов отклонений от среднего.

1. Возведем в квадрат каждое отклонение, найденное в пункте а):

• $(-3)^2 = 9$
• $(-1)^2 = 1$
• $0^2 = 0$
• $1^2 = 1$
• $3^2 = 9$

Квадраты отклонений: 9, 1, 0, 1, 9.

2. Найдем сумму этих квадратов отклонений.

Сумма квадратов отклонений = $9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20$.

Ответ: Квадраты отклонений равны 9, 1, 0, 1, 9. Сумма квадратов отклонений равна 20.

г) Вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

1. Дисперсия ($D$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений. Она показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг среднего.

Формула дисперсии: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Мы уже нашли сумму квадратов отклонений в пункте в), она равна 20. Количество элементов $n=5$.

$D = \frac{20}{5} = 4$

2. Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряет ту же величину разброса, что и дисперсия, но в исходных единицах измерения данных.

Формула среднего квадратического отклонения: $\sigma = \sqrt{D}$

$\sigma = \sqrt{4} = 2$

Ответ: Дисперсия равна 4, среднее квадратическое отклонение равно 2.