Номер 24.12, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.12, страница 159.

24.12. Для оценок по русскому языку:

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

б) составьте таблицу распределения кратностей;

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

г) найдите среднее.

Поскольку в задаче не приведен исходный ряд данных (оценок по русскому языку), для демонстрации решения воспользуемся гипотетическим набором из 20 оценок, полученных учениками одного класса:

4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 4.

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

Сгруппированный ряд данных (также называемый упорядоченным или вариационным рядом) — это последовательность всех значений выборки, расположенных в порядке неубывания. Для нашего набора данных необходимо расставить все оценки от наименьшей к наибольшей.

Исходный ряд: 4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 4.

Упорядоченный ряд: 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

Ответ: 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

б) составьте таблицу распределения кратностей;

Таблица распределения кратностей (частот) показывает, сколько раз каждое уникальное значение (оценка) встречается в ряду данных. Подсчитаем количество каждой оценки в нашей выборке:

Оценка «2» встречается 1 раз.

Оценка «3» встречается 5 раз.

Оценка «4» встречается 9 раз.

Оценка «5» встречается 5 раз.

Общее количество оценок (объем выборки) $N = 1 + 5 + 9 + 5 = 20$.

На основе этих данных составим таблицу распределения:

Оценка ($x_i$)	Кратность ($n_i$)
2	1
3	5
4	9
5	5
Всего	20

Ответ: Таблица распределения кратностей представлена выше.

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

Для построения многоугольника распределения процентных частот сначала необходимо рассчитать эти частоты. Процентная частота ($P_i$) для каждого значения вычисляется по формуле: $P_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$, где $n_i$ – кратность оценки, а $N$ – общий объем выборки.

Рассчитаем процентные частоты для каждой оценки:

Для оценки «2»: $P_1 = \frac{1}{20} \times 100\% = 5\%$

Для оценки «3»: $P_2 = \frac{5}{20} \times 100\% = 25\%$

Для оценки «4»: $P_3 = \frac{9}{20} \times 100\% = 45\%$

Для оценки «5»: $P_4 = \frac{5}{20} \times 100\% = 25\%$

Многоугольник распределения (полигон частот) строится на координатной плоскости. По оси абсцисс (горизонтальной оси) откладываются значения оценок ($x_i$), а по оси ординат (вертикальной оси) – соответствующие им процентные частоты ($P_i$). На плоскости отмечаются точки с координатами ($x_i; P_i$) и последовательно соединяются отрезками прямых.

Координаты точек для построения:

(2; 5), (3; 25), (4; 45), (5; 25).

Обычно для наглядности полигон «замыкают», соединяя крайние точки с осью абсцисс в точках, значения которых на единицу меньше минимального и на единицу больше максимального (в данном случае это (1; 0) и (6; 0)).

Ответ: Многоугольник распределения процентных частот – это ломаная линия, проходящая через точки с координатами (2; 5), (3; 25), (4; 45), (5; 25) в системе координат, где по оси OX отложены оценки, а по оси OY – процентные частоты.

г) найдите среднее.

Среднее арифметическое для сгруппированных данных вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{N}$$

где $x_i$ – значение оценки, $n_i$ – её кратность (частота), а $N$ – общее количество оценок.

Используя данные из таблицы кратностей (пункт б):

$$\bar{x} = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 5}{20}$$

$$\bar{x} = \frac{2 + 15 + 36 + 25}{20}$$

$$\bar{x} = \frac{78}{20}$$

$$\bar{x} = 3.9$$

Таким образом, средняя оценка по русскому языку в данной выборке составляет 3.9 балла.

Ответ: 3.9.