Номер 24.17, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 24. Статистические методы обработки информации. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 24.17, страница 160.

○24.17. После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение равно 12» и таблица:

Варианта | 3 | 8 | [пустая клетка]

Кратность | 26 | 13 | 11

а) Какое число должно быть записано в пустой клетке?

б) Укажите размах, моду и медиану распределения.

в) Допустим, что среднее значение равно $M$. Что тогда должно стоять в пустой клетке?

г) Может ли в ответе для среднего значения стоять 15, если все варианты — целые числа?

а) Среднее значение (среднее арифметическое взвешенное) вычисляется по формуле: $ M = \frac{v_1 f_1 + v_2 f_2 + \dots + v_n f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n} $, где $v_i$ — варианты, а $f_i$ — их кратности (частоты).
Пусть неизвестная варианта равна $x$. По условию, среднее значение равно 12. Подставим известные данные в формулу:
$ 12 = \frac{3 \cdot 26 + 8 \cdot 13 + x \cdot 11}{26 + 13 + 11} $
Вычислим знаменатель (общее количество наблюдений):
$ 26 + 13 + 11 = 50 $
Вычислим известные произведения в числителе:
$ 3 \cdot 26 = 78 $
$ 8 \cdot 13 = 104 $
Теперь уравнение выглядит так:
$ 12 = \frac{78 + 104 + 11x}{50} $
$ 12 = \frac{182 + 11x}{50} $
Умножим обе части на 50:
$ 12 \cdot 50 = 182 + 11x $
$ 600 = 182 + 11x $
$ 11x = 600 - 182 $
$ 11x = 418 $
$ x = \frac{418}{11} $
$ x = 38 $
В пустой клетке должно быть записано число 38.
Ответ: 38.

б) Теперь мы имеем полный набор данных. Варианты: 3, 8, 38. Кратности: 26, 13, 11.
Размах — это разность между наибольшей и наименьшей вариантой.
Размах = $ 38 - 3 = 35 $.
Мода — это варианта, которая встречается чаще всего (имеет наибольшую кратность).
Кратность варианты 3 равна 26, варианты 8 — 13, варианты 38 — 11. Наибольшая кратность — 26, следовательно, мода равна 3.
Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам.
Общее количество наблюдений равно $ 26 + 13 + 11 = 50 $.
Так как число наблюдений четное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, то есть 25-го и 26-го.
Выпишем ряд, учитывая кратности: первые 26 элементов ряда — это число 3. Значит, и 25-й, и 26-й элементы равны 3.
Медиана = $ \frac{3 + 3}{2} = 3 $.
Ответ: размах — 35, мода — 3, медиана — 3.

в) Воспользуемся уравнением из пункта а), заменив среднее значение 12 на переменную $M$:
$ M = \frac{182 + 11x}{50} $
Выразим $x$ из этого уравнения:
$ 50M = 182 + 11x $
$ 11x = 50M - 182 $
$ x = \frac{50M - 182}{11} $
Это формула для нахождения значения в пустой клетке, если среднее значение равно $M$.
Ответ: $ \frac{50M - 182}{11} $.

г) Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся формулой, полученной в пункте в), и подставим в нее $M=15$. По условию, все варианты, включая $x$, должны быть целыми числами.
$ x = \frac{50 \cdot 15 - 182}{11} $
$ x = \frac{750 - 182}{11} $
$ x = \frac{568}{11} $
Проверим, делится ли 568 на 11 нацело:
$ 568 \div 11 \approx 51.63... $
Число 568 не делится на 11 без остатка, следовательно, значение $x$ не будет целым числом. Это противоречит условию, что все варианты — целые числа.
Ответ: нет, не может.