Номер 25.1, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел. Глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики. ч. 2 - номер 25.1, страница 161.

В пунктах а) — г) задач 25.1—25.2 найдите значения n, k, p, q и выпишите (без вычислений) формулы для $P_n(k)$.

25.1. a) Вероятность появления ровно 7 орлов при 10 бросаниях монеты;

б) Вероятность появления ровно 3 решек при 10 бросаниях монеты;

в) Вероятность появления ровно 57 нечётных чисел при 100 независимых выборах целых чисел от 0 до 9;

г) Вероятность появления ровно 75 чисел, кратных трём, при 100 независимых выборах целых чисел от 0 до 9.

Для решения всех пунктов задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний. Вероятность успеха в каждом испытании равна $p$, а вероятность неудачи — $q = 1 - p$. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

а)

В этом случае проводится серия из 10 бросаний монеты. Это и есть наши независимые испытания.

• Общее число испытаний: $n = 10$.
• Количество "успехов" (выпадений орла), которое нас интересует: $k = 7$.
• Вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность выпадения орла при одном броске): $p = \frac{1}{2}$.
• Вероятность "неудачи" (выпадения решки): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Подставляя эти значения в формулу Бернулли, получаем формулу для искомой вероятности.

Ответ: $P_{10}(7) = C_{10}^7 \cdot (\frac{1}{2})^7 \cdot (\frac{1}{2})^{10-7} = C_{10}^7 \cdot (\frac{1}{2})^7 \cdot (\frac{1}{2})^3$.

б)

Задача аналогична предыдущей, но теперь "успехом" считается выпадение решки.

• Общее число испытаний: $n = 10$.
• Количество "успехов" (выпадений решки): $k = 3$.
• Вероятность "успеха" (выпадения решки): $p = \frac{1}{2}$.
• Вероятность "неудачи" (выпадения орла): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения в формулу Бернулли.

Ответ: $P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^{10-3} = C_{10}^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^7$.

в)

Здесь испытание — это выбор одного целого числа из диапазона от 0 до 9. Таких испытаний проводится 100.

• Общее число испытаний: $n = 100$.
• Количество "успехов" (выбор нечётного числа): $k = 57$.
• Для определения вероятности "успеха" $p$ посчитаем количество нечётных чисел среди чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Нечётными являются {1, 3, 5, 7, 9} — всего 5 чисел из 10. Значит, $p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
• Вероятность "неудачи" (выбор чётного числа): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения в формулу Бернулли.

Ответ: $P_{100}(57) = C_{100}^{57} \cdot (\frac{1}{2})^{57} \cdot (\frac{1}{2})^{100-57} = C_{100}^{57} \cdot (\frac{1}{2})^{57} \cdot (\frac{1}{2})^{43}$.

г)

Испытание — выбор одного целого числа от 0 до 9. "Успех" — выбор числа, кратного трём.

• Общее число испытаний: $n = 100$.
• Количество "успехов" (выбор числа, кратного трём): $k = 75$.
• Для определения вероятности "успеха" $p$ посчитаем количество чисел, кратных трём, среди чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Кратными трём являются {0, 3, 6, 9} — всего 4 числа из 10. Значит, $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
• Вероятность "неудачи" (выбор числа, не кратного трём): $q = 1 - p = 1 - \frac{4}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Подставляем значения в формулу Бернулли.

Ответ: $P_{100}(75) = C_{100}^{75} \cdot (\frac{4}{10})^{75} \cdot (\frac{6}{10})^{100-75} = C_{100}^{75} \cdot (\frac{2}{5})^{75} \cdot (\frac{3}{5})^{25}$.