Номер 18.20, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.20, страница 113.

18.20. a) $log^2_2(5 - x) - 2 log_2(5 - x)^3 + 9 \le 0;$

б) $log^2_{\frac{1}{2}}(4 - x) + 5 log_{\frac{1}{2}}(4 - x)^2 + 25 \le 0;$

в) $log^2_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 3 \ge -\frac{4}{5} log_{\frac{1}{3}}(x - 1)^5;$

г) $log^2_3(x + 5) \le 0,5 log_3(x + 5)^4 + 3.$

а) $\log_2^2(5 - x) - 2\log_2(5 - x)^3 + 9 \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$5 - x > 0$
$x < 5$

2. Упростим неравенство, используя свойство логарифма $\log_a(b^n) = n\log_a(b)$:
$\log_2^2(5 - x) - 2 \cdot 3\log_2(5 - x) + 9 \le 0$
$\log_2^2(5 - x) - 6\log_2(5 - x) + 9 \le 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(5 - x)$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 6t + 9 \le 0$

4. Решим полученное квадратное неравенство. Левая часть является полным квадратом:
$(t - 3)^2 \le 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Единственное возможное решение — это когда выражение равно нулю:
$(t - 3)^2 = 0$
$t - 3 = 0$
$t = 3$

5. Выполним обратную замену:
$\log_2(5 - x) = 3$

6. Решим логарифмическое уравнение:
$5 - x = 2^3$
$5 - x = 8$
$x = 5 - 8$
$x = -3$

7. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ ($x < 5$):
$-3 < 5$. Условие выполняется.
Ответ: $\{-3\}$

б) $\log_{\frac{1}{2}}^2(4 - x) + 5\log_{\frac{1}{2}}(4 - x)^2 + 25 \le 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$.
$(4-x)^2 > 0 \Rightarrow 4-x \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < 4$.

2. Упростим неравенство. Используем свойство логарифма для четной степени: $\log_a(b^{2n}) = 2n\log_a|b|$.
$\log_{\frac{1}{2}}(4 - x)^2 = 2\log_{\frac{1}{2}}|4 - x|$.
Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x < 4$, то $4 - x > 0$, и, следовательно, $|4 - x| = 4 - x$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{2}}^2(4 - x) + 5 \cdot 2\log_{\frac{1}{2}}(4 - x) + 25 \le 0$
$\log_{\frac{1}{2}}^2(4 - x) + 10\log_{\frac{1}{2}}(4 - x) + 25 \le 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{\frac{1}{2}}(4 - x)$:
$t^2 + 10t + 25 \le 0$

4. Решим квадратное неравенство. Левая часть является полным квадратом:
$(t + 5)^2 \le 0$
Единственное решение, как и в предыдущем пункте, $t + 5 = 0$, откуда $t = -5$.

5. Выполним обратную замену:
$\log_{\frac{1}{2}}(4 - x) = -5$

6. Решим логарифмическое уравнение:
$4 - x = (\frac{1}{2})^{-5}$
$4 - x = 2^5$
$4 - x = 32$
$x = 4 - 32$
$x = -28$

7. Проверим соответствие ОДЗ ($x < 4$):
$-28 < 4$. Условие выполняется.
Ответ: $\{-28\}$

в) $\log_{\frac{1}{3}}^2(x - 1) + 3 \ge -\frac{4}{5}\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)^5$

1. Найдем ОДЗ: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

2. Преобразуем неравенство. Вынесем степень из-под знака логарифма и перенесем все слагаемые в левую часть:
$\log_{\frac{1}{3}}^2(x - 1) + 3 \ge -\frac{4}{5} \cdot 5\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$
$\log_{\frac{1}{3}}^2(x - 1) + 3 \ge -4\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$
$\log_{\frac{1}{3}}^2(x - 1) + 4\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 3 \ge 0$

3. Сделаем замену. Пусть $t = \log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$:
$t^2 + 4t + 3 \ge 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 + 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = -3$, $t_2 = -1$.
Графиком функции $y = t^2 + 4t + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть:
$t \le -3$ или $t \ge -1$.

5. Выполним обратную замену. Получаем совокупность двух неравенств:
$\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \le -3$
$\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \ge -1$

6. Решим каждое неравенство. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, знак неравенства при потенцировании меняется на противоположный.
Для первого неравенства:
$x - 1 \ge (\frac{1}{3})^{-3}$
$x - 1 \ge 3^3$
$x - 1 \ge 27 \Rightarrow x \ge 28$
Для второго неравенства:
$x - 1 \le (\frac{1}{3})^{-1}$
$x - 1 \le 3 \Rightarrow x \le 4$

7. Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 1$):
Первое решение: $x \ge 28$. Это удовлетворяет ОДЗ.
Второе решение: $x \le 4$ и $x > 1$, что дает интервал $(1, 4]$.
Общее решение является объединением этих двух множеств.
Ответ: $(1, 4] \cup [28, +\infty)$

г) $\log_3^2(x + 5) \le 0,5\log_3(x + 5)^4 + 3$

1. Найдем ОДЗ: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$.

2. Упростим неравенство. Так как $x > -5$, то $x+5>0$ и $|x+5|=x+5$.
$\log_3^2(x + 5) \le 0,5 \cdot 4\log_3(x + 5) + 3$
$\log_3^2(x + 5) \le 2\log_3(x + 5) + 3$
$\log_3^2(x + 5) - 2\log_3(x + 5) - 3 \le 0$

3. Сделаем замену. Пусть $t = \log_3(x + 5)$:
$t^2 - 2t - 3 \le 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:
$-1 \le t \le 3$

5. Выполним обратную замену:
$-1 \le \log_3(x + 5) \le 3$

6. Решим двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому знаки неравенства сохраняются:
$3^{-1} \le x + 5 \le 3^3$
$\frac{1}{3} \le x + 5 \le 27$

7. Вычтем 5 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$\frac{1}{3} - 5 \le x \le 27 - 5$
$\frac{1}{3} - \frac{15}{3} \le x \le 22$
$-\frac{14}{3} \le x \le 22$

8. Данный интервал $[-\frac{14}{3}, 22]$ полностью удовлетворяет ОДЗ $x > -5$, так как $-\frac{14}{3} \approx -4.67 > -5$.
Ответ: $[-\frac{14}{3}, 22]$