Номер 18.15, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.15, страница 112.

18.15. a) $\lg (x + 3) + \lg (2x - 8) < 2 \lg x;$

б) $\log_{0.5}(3x - 1) - \log_{0.5}(x - 1) < \log_{0.5}(x + 18) - \log_{0.5}(x + 2);$

В) $\log_3(2x - 7) \ge 2 \log_3(x + 1) - \log_3(x - 19);$

Г) $\log_{\frac{1}{3}}(2x + 3) + \log_{\frac{1}{3}}(x - 2) \ge \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}}x^2 + \log_{\frac{1}{3}}(4x - 9).$

а) $lg(x + 3) + lg(2x - 8) < 2 lg x$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x + 3 > 0 \\ 2x - 8 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -3 \\ x > 4 \\ x > 0 \end{cases} $
Пересечением этих условий является $x > 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (4; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ и $k \log_a b = \log_a(b^k)$:
$lg((x + 3)(2x - 8)) < lg(x^2)$

3. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$(x + 3)(2x - 8) < x^2$
$2x^2 - 8x + 6x - 24 < x^2$
$2x^2 - 2x - 24 < x^2$
$x^2 - 2x - 24 < 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$.
По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -24$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 6$.
Так как парабола $y = x^2 - 2x - 24$ ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 24 < 0$ выполняется между корнями: $-4 < x < 6$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$ \begin{cases} -4 < x < 6 \\ x > 4 \end{cases} $
Решением системы является интервал $4 < x < 6$.

Ответ: $(4; 6)$.

б) $\log_{0,5}(3x - 1) - \log_{0,5}(x - 1) < \log_{0,5}(x + 18) - \log_{0,5}(x + 2)$

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \\ x + 18 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 1/3 \\ x > 1 \\ x > -18 \\ x > -2 \end{cases} $
Пересечением является $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

2. Используем свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_{0,5}\left(\frac{3x - 1}{x - 1}\right) < \log_{0,5}\left(\frac{x + 18}{x + 2}\right)$

3. Так как основание логарифма $0,5 < 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{3x - 1}{x - 1} > \frac{x + 18}{x + 2}$

4. Решим рациональное неравенство:
$\frac{3x - 1}{x - 1} - \frac{x + 18}{x + 2} > 0$
$\frac{(3x - 1)(x + 2) - (x + 18)(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\frac{(3x^2 + 6x - x - 2) - (x^2 - x + 18x - 18)}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\frac{3x^2 + 5x - 2 - x^2 - 17x + 18}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\frac{2x^2 - 12x + 16}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
$\frac{2(x^2 - 6x + 8)}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ это $x_1 = 2, x_2 = 4$.
$\frac{2(x - 2)(x - 4)}{(x - 1)(x + 2)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: 2, 4. Нули знаменателя: 1, -2. Отметим точки -2, 1, 2, 4 на числовой оси. Решением неравенства являются интервалы $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (4; +\infty)$.

5. Пересекаем полученное решение с ОДЗ $x > 1$:
Решением является объединение интервалов $(1; 2) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $(1; 2) \cup (4; +\infty)$.

в) $\log_3(2x - 7) \ge 2\log_3(x + 1) - \log_3(x - 19)$

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2x - 7 > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x - 19 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 3,5 \\ x > -1 \\ x > 19 \end{cases} $
Пересечением является $x > 19$. ОДЗ: $x \in (19; +\infty)$.

2. Преобразуем правую часть неравенства:
$\log_3(2x - 7) \ge \log_3((x + 1)^2) - \log_3(x - 19)$
$\log_3(2x - 7) \ge \log_3\left(\frac{(x + 1)^2}{x - 19}\right)$

3. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$2x - 7 \ge \frac{(x + 1)^2}{x - 19}$

4. Так как по ОДЗ $x > 19$, то $x - 19 > 0$. Можем умножить обе части на $(x - 19)$:
$(2x - 7)(x - 19) \ge (x + 1)^2$
$2x^2 - 38x - 7x + 133 \ge x^2 + 2x + 1$
$2x^2 - 45x + 133 \ge x^2 + 2x + 1$
$x^2 - 47x + 132 \ge 0$

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 47x + 132 = 0$.
$D = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 132 = 2209 - 528 = 1681 = 41^2$.
$x_1 = \frac{47 - 41}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{47 + 41}{2} = \frac{88}{2} = 44$.
Парабола $y = x^2 - 47x + 132$ ветвями вверх, значит неравенство выполняется при $x \le 3$ или $x \ge 44$.

6. Пересекаем с ОДЗ $x > 19$:
$ \begin{cases} x \in (-\infty; 3] \cup [44; +\infty) \\ x > 19 \end{cases} $
Решением является $x \ge 44$.

Ответ: $[44; +\infty)$.

г) $\log_{\frac{1}{3}}(2x + 3) + \log_{\frac{1}{3}}(x - 2) \ge \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}} x^2 + \log_{\frac{1}{3}}(4x - 9)$

1. Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ x - 2 > 0 \\ x^2 > 0 \\ 4x - 9 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -1,5 \\ x > 2 \\ x \ne 0 \\ x > 9/4 \end{cases} $
Пересечением является $x > 9/4$ (или $x > 2,25$). ОДЗ: $x \in (9/4; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство. Отметим, что $\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}} x^2 = \log_{\frac{1}{3}} (x^2)^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{3}} |x|$. Так как по ОДЗ $x > 9/4$, то $|x| = x$.
$\log_{\frac{1}{3}}((2x + 3)(x - 2)) \ge \log_{\frac{1}{3}}(x) + \log_{\frac{1}{3}}(4x - 9)$
$\log_{\frac{1}{3}}((2x + 3)(x - 2)) \ge \log_{\frac{1}{3}}(x(4x - 9))$

3. Так как основание логарифма $1/3 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$(2x + 3)(x - 2) \le x(4x - 9)$

4. Решим полученное неравенство:
$2x^2 - 4x + 3x - 6 \le 4x^2 - 9x$
$2x^2 - x - 6 \le 4x^2 - 9x$
$0 \le 2x^2 - 8x + 6$
$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

5. Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ это $x_1 = 1, x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ ветвями вверх, значит неравенство выполняется при $x \le 1$ или $x \ge 3$.

6. Пересекаем с ОДЗ $x > 9/4$ (т.е. $x > 2,25$):
$ \begin{cases} x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \\ x > 2,25 \end{cases} $
Решением является $x \ge 3$.

Ответ: $[3; +\infty)$.