Номер 18.9, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.9, страница 111.

18.9. a) $log_{\pi-3}(6-x) \ge log_{\pi-3}x^2;$

б) $log_{\pi-2}(x^2+22) < log_{\pi-2}13x;$

в) $log_{3-0,5\pi}(-x-6) \le log_{3-0,5\pi}(6-x^2);$

г) $log_{3,2-\pi}(x^2-27) > log_{3,2-\pi}6x.$

а) $\log_{\pi-3}(6-x) \ge \log_{\pi-3}x^2$

1. Определим основание логарифма: $a = \pi - 3$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $a \approx 0.14159$. Основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства изменится на противоположный.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 6 \\ x \ne 0 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 6)$.

3. Решим неравенство. Так как основание $0 < \pi - 3 < 1$, меняем знак неравенства:

$6 - x \le x^2$

$x^2 + x - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [2; \infty)$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-\infty; -3] \cup [2; \infty) \cap ((-\infty; 0) \cup (0; 6)) = (-\infty; -3] \cup [2; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, 6)$.

б) $\log_{\pi-2}(x^2+22) < \log_{\pi-2}13x$

1. Определим основание логарифма: $a = \pi - 2$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $a \approx 1.14159$. Основание удовлетворяет условию $a > 1$. Это означает, что логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохранится.

2. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 + 22 > 0 \\ 13x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty, \infty) \\ x > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + 22 > 0$ верно для любого действительного $x$, так как $x^2 \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

3. Решим неравенство. Так как основание $\pi - 2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 + 22 < 13x$

$x^2 - 13x + 22 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 22 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 11$.

Графиком функции $y = x^2 - 13x + 22$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 13x + 22 < 0$ выполняется между корнями: $2 < x < 11$.

4. Пересечем полученное решение с ОДЗ:

$(2; 11) \cap (0; \infty) = (2; 11)$.

Ответ: $x \in (2, 11)$.

в) $\log_{3-0.5\pi}(-x-6) \le \log_{3-0.5\pi}(6-x^2)$

1. Определим основание логарифма: $a = 3 - 0.5\pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $0.5\pi \approx 1.5708$. Тогда $a \approx 3 - 1.5708 \approx 1.4292$. Основание удовлетворяет условию $a > 1$, значит, логарифмическая функция возрастающая.

2. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} -x - 6 > 0 \\ 6 - x^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -6 \\ x^2 < 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -6 \\ -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} \end{cases}$

Поскольку $-6 < -\sqrt{6}$ (так как $36 > 6$), то условие $x < -6$ и условие $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ не могут выполняться одновременно. Система неравенств не имеет решений. Область допустимых значений является пустым множеством.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

г) $\log_{3.2-\pi}(x^2-27) > \log_{3.2-\pi}6x$

1. Определим основание логарифма: $a = 3.2 - \pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $a \approx 3.2 - 3.14159 \approx 0.05841$. Основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства изменится на противоположный.

2. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 - 27 > 0 \\ 6x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 > 27 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -\sqrt{27}) \cup (\sqrt{27}; \infty) \\ x > 0 \end{cases}$

Учитывая, что $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (3\sqrt{3}; \infty)$.

3. Решим неравенство. Так как основание $0 < 3.2 - \pi < 1$, меняем знак неравенства:

$x^2 - 27 < 6x$

$x^2 - 6x - 27 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 9$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 27$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 27 < 0$ выполняется между корнями: $-3 < x < 9$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$(-3; 9) \cap (3\sqrt{3}; \infty)$. Так как $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$, а $3 = \sqrt{9}$ и $9 = \sqrt{81}$, то $\sqrt{9} < \sqrt{27} < \sqrt{81}$, то есть $3 < 3\sqrt{3} < 9$.

Следовательно, пересечением является интервал $(3\sqrt{3}; 9)$.

Ответ: $x \in (3\sqrt{3}, 9)$.