Номер 18.11, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.11, страница 112.

Решите неравенство:

18.11. a) $ \log_8(x^2 - 7x) > 1; $

б) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \le 1; $

в) $ \log_2(x^2 - 6x + 24) < 4; $

г) $ \log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10}{9}x) \ge 2. $

а) $\log_{8}(x^2 - 7x) > 1$
1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x^2 - 7x > 0$
$x(x - 7) > 0$
Решая это квадратное неравенство методом интервалов, находим, что парабола $y=x(x-7)$ с ветвями вверх положительна вне корней $x=0$ и $x=7$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (7; +\infty)$.
2. Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{8}8$.
$\log_{8}(x^2 - 7x) > \log_{8}8$
Так как основание логарифма $8 > 1$, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 7x > 8$
$x^2 - 7x - 8 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 = 9^2$), корни равны:
$x_1 = \frac{7 - 9}{2} = -1$
$x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8$
Неравенство $(x+1)(x-8) > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне корней.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.
3. Совместим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств:
$(-\infty; 0) \cup (7; +\infty)$ и $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (8; +\infty)$.

б) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \le 1$
1. Найдем ОДЗ: $x^2 + 0,5x > 0 \implies x(x+0,5) > 0$.
Корни: $x=0$ и $x=-0,5$. Парабола с ветвями вверх, значит, решение: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty)$.
2. Решим неравенство. Представим $1 = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})$.
$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 0,5x) \le \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})$
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + 0,5x \ge \frac{1}{2}$
$x^2 + 0,5x - 0,5 \ge 0$
Умножим неравенство на 2 для удобства: $2x^2 + x - 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + x - 1 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$
Решение неравенства $2(x+1)(x-0,5) \ge 0$ есть $x \in (-\infty; -1] \cup [0,5; +\infty)$.
3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:
$(-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty)$ и $(-\infty; -1] \cup [0,5; +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (-\infty; -1] \cup [0,5; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [0,5; +\infty)$.

в) $\log_{2}(x^2 - 6x + 24) < 4$
1. Найдем ОДЗ: $x^2 - 6x + 24 > 0$.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 36 - 96 = -60$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то парабола целиком лежит выше оси Ox, и выражение $x^2 - 6x + 24$ всегда положительно. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$, то есть $x$ - любое действительное число.
2. Решим неравенство. Представим $4 = \log_{2}2^4 = \log_{2}16$.
$\log_{2}(x^2 - 6x + 24) < \log_{2}16$
Основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 6x + 24 < 16$
$x^2 - 6x + 8 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Неравенство $(x-2)(x-4) < 0$ выполняется между корнями.
Решение: $x \in (2; 4)$.
3. Так как ОДЗ не накладывает ограничений, итоговое решение совпадает с решением неравенства.
Ответ: $(2; 4)$.

г) $\log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10}{9}x) \ge 2$
1. Найдем ОДЗ: $-x^2 + \frac{10}{9}x > 0$.
Умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 - \frac{10}{9}x < 0 \implies x(x - \frac{10}{9}) < 0$.
Парабола с ветвями вверх, значение отрицательно между корнями $x=0$ и $x=\frac{10}{9}$.
ОДЗ: $x \in (0; \frac{10}{9})$.
2. Решим неравенство. Представим $2 = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2 = \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9})$.
$\log_{\frac{1}{3}}(-x^2 + \frac{10}{9}x) \ge \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{9})$
Основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$-x^2 + \frac{10}{9}x \le \frac{1}{9}$
Перенесем все в одну сторону: $-x^2 + \frac{10}{9}x - \frac{1}{9} \le 0$.
Умножим на $-9$ и снова сменим знак: $9x^2 - 10x + 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 - 10x + 1 = 0$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
$x_2 = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1$
Решение неравенства $9(x-\frac{1}{9})(x-1) \ge 0$ есть $x \in (-\infty; \frac{1}{9}] \cup [1; +\infty)$.
3. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств:
$(0; \frac{10}{9})$ и $(-\infty; \frac{1}{9}] \cup [1; +\infty)$.
Сравнивая значения на числовой прямой $0 < \frac{1}{9} < 1 < \frac{10}{9}$, получаем пересечение.
Итоговое решение: $x \in (0; \frac{1}{9}] \cup [1; \frac{10}{9})$.
Ответ: $(0; \frac{1}{9}] \cup [1; \frac{10}{9})$.