Номер 16.44, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.44, страница 102.

Вычислите:

16.44. a) $5 \log_2 9 \cdot \log_3 64 + 3^{\log_6 8} \cdot 2^{\log_6 8};$

б) $2^{4 \log_2 3 - 1} + \log_9 3 + \log_3 64 \cdot \log_4 3.$

а) $5\log_2 9 \cdot \log_3 64 + 3^{\log_6 8} \cdot 2^{\log_6 8}$

Решим задачу по частям. Сначала упростим первое слагаемое: $5\log_2 9 \cdot \log_3 64$.
Используем свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$. Представим $9$ как $3^2$ и $64$ как $2^6$:
$\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2\log_2 3$
$\log_3 64 = \log_3 2^6 = 6\log_3 2$
Подставим преобразованные логарифмы в первое слагаемое:
$5 \cdot (2\log_2 3) \cdot (6\log_3 2) = 60 \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2)$
Теперь воспользуемся свойством перехода к другому основанию, из которого следует, что $\log_a b \cdot \log_b a = 1$.
Таким образом, $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$.
Значит, первое слагаемое равно $60 \cdot 1 = 60$.

Теперь упростим второе слагаемое: $3^{\log_6 8} \cdot 2^{\log_6 8}$.
Используем свойство степеней $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:
$3^{\log_6 8} \cdot 2^{\log_6 8} = (3 \cdot 2)^{\log_6 8} = 6^{\log_6 8}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$6^{\log_6 8} = 8$.

Сложим полученные значения:
$60 + 8 = 68$.

Ответ: 68.

б) $2^{4\log_2 3 - 1} + \log_9 3 + \log_3 64 \cdot \log_4 3$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $2^{4\log_2 3 - 1}$.
Используем свойства степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и $k\log_b a = \log_b a^k$:
$2^{4\log_2 3 - 1} = \frac{2^{4\log_2 3}}{2^1} = \frac{2^{\log_2 3^4}}{2} = \frac{2^{\log_2 81}}{2}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $2^{\log_2 81} = 81$.
Следовательно, первое слагаемое равно $\frac{81}{2}$.

Второе слагаемое: $\log_9 3$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Так как $9 = 3^2$:
$\log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2}\log_3 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Третье слагаемое: $\log_3 64 \cdot \log_4 3$.
Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$. Сначала преобразуем $\log_3 64$:
$64 = 4^3$, поэтому $\log_3 64 = \log_3 (4^3) = 3\log_3 4$.
Тогда выражение примет вид:
$(3\log_3 4) \cdot \log_4 3 = 3 \cdot (\log_3 4 \cdot \log_4 3) = 3 \cdot 1 = 3$.
Альтернативный способ: используя формулу замены основания $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$, можно показать, что $\frac{\log_3 64}{\log_3 4} = \log_4 64 = 3$.

Теперь сложим все полученные значения:
$\frac{81}{2} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{82}{2} + 3 = 41 + 3 = 44$.

Ответ: 44.