Номер 16.42, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.42, страница 101.

Вычислите:

16.42. a) $log_2\frac{1}{3} + log_4 9$;

в) $log_{25} 9 - log_5 3$;

б) $log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{2} + log_3\frac{1}{2}$;

г) $log_{16} 4 - log_4 8.$

а) $ \log_2 \frac{1}{3} + \log_4 9 $

Для решения приведем логарифмы к одному основанию. Удобно привести всё к основанию 2, так как $4 = 2^2$.

Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $ для второго слагаемого:

$ \log_4 9 = \log_{2^2} 9 = \frac{1}{2} \log_2 9 $

Далее используем свойство $ n \log_a b = \log_a b^n $:

$ \frac{1}{2} \log_2 9 = \log_2 9^{\frac{1}{2}} = \log_2 \sqrt{9} = \log_2 3 $

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \log_2 \frac{1}{3} + \log_2 3 $

Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $ \log_a x + \log_a y = \log_a(xy) $:

$ \log_2 (\frac{1}{3} \cdot 3) = \log_2 1 $

Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю.

$ \log_2 1 = 0 $

Ответ: $0$.

б) $ \log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{2} + \log_3 \frac{1}{2} $

Приведем логарифмы к основанию 3. Заметим, что $ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} $.

Преобразуем первый член, используя свойство $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $:

$ \log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{2} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3\sqrt{2} = \frac{1}{1/2} \log_3 (3\sqrt{2}) = 2 \log_3 (3\sqrt{2}) $

Используем свойство $ n \log_a b = \log_a b^n $:

$ 2 \log_3 (3\sqrt{2}) = \log_3 ((3\sqrt{2})^2) = \log_3 (9 \cdot 2) = \log_3 18 $

Подставим полученное выражение в исходное:

$ \log_3 18 + \log_3 \frac{1}{2} $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a x + \log_a y = \log_a(xy) $:

$ \log_3 (18 \cdot \frac{1}{2}) = \log_3 9 $

Так как $9=3^2$, то:

$ \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 $

Ответ: $2$.

в) $ \log_{25} 9 - \log_5 3 $

Приведем логарифмы к одному основанию 5. Заметим, что $25 = 5^2$ и $9=3^2$.

Преобразуем первый член, используя свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_5 3 = 1 \cdot \log_5 3 = \log_5 3 $

Подставим полученное выражение в исходное:

$ \log_5 3 - \log_5 3 = 0 $

Ответ: $0$.

г) $ \log_{16} 4 - \log_4 8 $

Для решения приведем логарифмы к одному основанию. Удобно использовать основание 2, так как $16=2^4$, $4=2^2$ и $8=2^3$.

Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $.

Преобразуем первый член:

$ \log_{16} 4 = \log_{2^4} 2^2 = \frac{2}{4} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Преобразуем второй член:

$ \log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1 $

Ответ: $-1$.