Номер 16.41, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.41, страница 101.

16.41. Докажите, что при заданных условиях выполняется требуемое равенство:

a) $\text{lg} \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\text{lg} a + \text{lg} b)$, если $a^2 + b^2 = 7ab$;

б) $\text{lg} \frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\text{lg} a + \text{lg} b)$, если $a^2 + 4b^2 = 12ab$.

а)

Нам дано условие $a^2 + b^2 = 7ab$ и требуется доказать, что $\lg \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$.

Для того чтобы выражения $\lg a$ и $\lg b$ имели смысл, необходимо, чтобы $a > 0$ и $b > 0$.

Начнем с преобразования данного нам условия $a^2 + b^2 = 7ab$. Чтобы в левой части получить выражение, связанное с $(a+b)$, прибавим к обеим частям равенства $2ab$. Это позволит нам выделить полный квадрат суммы.

$a^2 + 2ab + b^2 = 7ab + 2ab$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a+b)^2 = 9ab$

Так как $a > 0$ и $b > 0$, то и сумма $a+b > 0$. Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$\sqrt{(a+b)^2} = \sqrt{9ab}$

$a+b = 3\sqrt{ab}$

Теперь разделим обе части на 3, чтобы получить выражение, стоящее под знаком логарифма в левой части доказываемого равенства:

$\frac{a+b}{3} = \sqrt{ab}$

Прологарифмируем обе части полученного равенства по основанию 10 (используя десятичный логарифм $\lg$):

$\lg\left(\frac{a+b}{3}\right) = \lg(\sqrt{ab})$

Преобразуем правую часть, используя свойства логарифмов: свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg(x)$ и свойство логарифма произведения $\lg(xy) = \lg(x) + \lg(y)$.

$\lg(\sqrt{ab}) = \lg\left((ab)^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}\lg(ab) = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$

Таким образом, мы приходим к равенству:

$\lg\frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Нам дано условие $a^2 + 4b^2 = 12ab$ и требуется доказать, что $\lg \frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$.

Как и в предыдущем пункте, из существования $\lg a$ и $\lg b$ следует, что $a > 0$ и $b > 0$.

Рассмотрим данное условие $a^2 + 4b^2 = 12ab$. Левая часть, $a^2 + 4b^2$, является частью формулы для квадрата суммы $(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$. Чтобы выделить полный квадрат, прибавим к обеим частям равенства $4ab$:

$a^2 + 4ab + 4b^2 = 12ab + 4ab$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(a+2b)^2 = 16ab$

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то и $a+2b > 0$. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sqrt{(a+2b)^2} = \sqrt{16ab}$

$a+2b = 4\sqrt{ab}$

Разделим обе части на 4:

$\frac{a+2b}{4} = \sqrt{ab}$

Теперь прологарифмируем обе части по основанию 10:

$\lg\left(\frac{a+2b}{4}\right) = \lg(\sqrt{ab})$

Используя те же свойства логарифмов, что и в пункте а), преобразуем правую часть:

$\lg(\sqrt{ab}) = \lg\left((ab)^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}\lg(ab) = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$

В результате мы получаем:

$\lg\frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.