Номер 16.43, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.43, страница 101.

16.43. а) $9^{\log_3 4} + \log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36;$

б) $\log_3 8 \cdot \log_2 27 - 3^{\log_9 25};$

в) $3^{4 \log_3 2} + \log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25;$

г) $10^{0,5 \lg 16} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81.$

а) $9^{\log_3 4} + \log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36$

Решим по частям. Сначала преобразуем первое слагаемое $9^{\log_3 4}$:

$9^{\log_3 4} = (3^2)^{\log_3 4} = 3^{2\log_3 4} = 3^{\log_3 4^2} = 3^{\log_3 16}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$3^{\log_3 16} = 16$

Теперь преобразуем второе слагаемое $\log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36$. Воспользуемся формулой $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ после преобразования первого множителя:

$\log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36 = \frac{1}{\log_3 \sqrt{6}} \cdot \log_3 36 = \frac{\log_3 36}{\log_3 \sqrt{6}} = \log_{\sqrt{6}} 36$

Чтобы найти значение $\log_{\sqrt{6}} 36$, решим уравнение $(\sqrt{6})^x = 36$.

$6^{x/2} = 6^2$, откуда $x/2 = 2$ и $x = 4$.

Сложим полученные результаты:

$16 + 4 = 20$

Ответ: 20

б) $\log_3 8 \cdot \log_2 27 - 3^{\log_9 25}$

Рассмотрим произведение логарифмов $\log_3 8 \cdot \log_2 27$. Приведем аргументы логарифмов к степеням простых чисел:

$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3\log_3 2$

$\log_2 27 = \log_2 3^3 = 3\log_2 3$

Их произведение равно:

$3\log_3 2 \cdot 3\log_2 3 = 9 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3)$

По свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$, получаем:

$9 \cdot 1 = 9$

Теперь преобразуем вычитаемое $3^{\log_9 25}$:

$\log_9 25 = \log_{3^2} 5^2 = \frac{2}{2} \log_3 5 = \log_3 5$

Тогда $3^{\log_9 25} = 3^{\log_3 5}$. По основному логарифмическому тождеству:

$3^{\log_3 5} = 5$

Вычислим разность:

$9 - 5 = 4$

Ответ: 4

в) $3^{4\log_3 2} + \log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25$

Преобразуем первое слагаемое $3^{4\log_3 2}$, используя свойство $n \log_b a = \log_b a^n$:

$3^{4\log_3 2} = 3^{\log_3 2^4} = 3^{\log_3 16} = 16$

Преобразуем второе слагаемое $\log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25$:

$\log_5 \sqrt{2} = \log_5 2^{1/2} = \frac{1}{2}\log_5 2$

$\log_4 25 = \log_{2^2} 5^2 = \frac{2}{2}\log_2 5 = \log_2 5$

Их произведение равно:

$(\frac{1}{2}\log_5 2) \cdot (\log_2 5) = \frac{1}{2} (\log_5 2 \cdot \log_2 5) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Сложим полученные результаты:

$16 + \frac{1}{2} = 16,5$

Ответ: 16,5

г) $10^{0,5 \lg 16} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$

Преобразуем первое слагаемое $10^{0,5 \lg 16}$. Учтем, что $\lg$ это логарифм по основанию 10:

$10^{0,5 \lg 16} = 10^{\lg 16^{0,5}} = 10^{\lg \sqrt{16}} = 10^{\lg 4} = 4$

Преобразуем второе слагаемое $14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$:

$\log_3 \sqrt{2} = \log_3 2^{1/2} = \frac{1}{2}\log_3 2$

$\log_4 81 = \log_{2^2} 3^4 = \frac{4}{2}\log_2 3 = 2\log_2 3$

Произведение равно:

$14 \cdot (\frac{1}{2}\log_3 2) \cdot (2\log_2 3) = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3) = 14 \cdot 1 = 14$

Сложим полученные результаты:

$4 + 14 = 18$

Ответ: 18