Номер 16.50, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.50, страница 102.

16.50. a) $2^{\log_{\sqrt{3}} 9 + \log_{\sqrt{2}} \sqrt{5}}$;

б) $3^{\log_{\sqrt{5}} 5 - \log_{\sqrt{3}} \sqrt{7}}$.

a)

Для решения примера $2^{\log_{\sqrt{3}}9 + \log_{\sqrt{2}}\sqrt{5}}$ необходимо упростить показатель степени. Показатель представляет собой сумму двух логарифмов. Упростим каждый из них по отдельности.

1. Упростим первый логарифм: $\log_{\sqrt{3}}9$.

Представим основание $\sqrt{3}$ и число под знаком логарифма $9$ в виде степеней с одинаковым основанием $3$.

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$9 = 3^2$

Теперь воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k}\log_a b$:

$\log_{\sqrt{3}}9 = \log_{3^{1/2}}(3^2) = \frac{2}{1/2}\log_3 3 = 4 \cdot 1 = 4$.

2. Упростим второй логарифм: $\log_{\sqrt{2}}\sqrt{5}$.

Здесь можно воспользоваться свойством $\log_{a^k}(b^k) = \log_a b$. Представим основание и число под логарифмом в виде степеней с показателем $1/2$:

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$

$\log_{\sqrt{2}}\sqrt{5} = \log_{2^{1/2}}(5^{1/2}) = \frac{1/2}{1/2}\log_2 5 = \log_2 5$.

3. Подставим найденные значения в показатель степени исходного выражения:

$\log_{\sqrt{3}}9 + \log_{\sqrt{2}}\sqrt{5} = 4 + \log_2 5$.

4. Теперь исходное выражение имеет вид: $2^{4 + \log_2 5}$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:

$2^{4 + \log_2 5} = 2^4 \cdot 2^{\log_2 5}$.

5. Вычислим результат.

$2^4 = 16$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $2^{\log_2 5} = 5$.

Таким образом, $16 \cdot 5 = 80$.

Ответ: 80

б)

Для решения примера $3^{\log_{\sqrt{5}}5 - \log_{\sqrt{3}}\sqrt{7}}$ необходимо упростить показатель степени, который является разностью двух логарифмов.

1. Упростим первый логарифм: $\log_{\sqrt{5}}5$.

Представим основание $\sqrt{5}$ и число $5$ в виде степеней с основанием $5$:

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$

$5 = 5^1$

Используем свойство логарифма $\log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k}\log_a b$:

$\log_{\sqrt{5}}5 = \log_{5^{1/2}}(5^1) = \frac{1}{1/2}\log_5 5 = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Упростим второй логарифм: $\log_{\sqrt{3}}\sqrt{7}$.

Представим основание и число под логарифмом в виде степеней с показателем $1/2$:

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$\sqrt{7} = 7^{1/2}$

$\log_{\sqrt{3}}\sqrt{7} = \log_{3^{1/2}}(7^{1/2}) = \frac{1/2}{1/2}\log_3 7 = \log_3 7$.

3. Подставим упрощенные логарифмы в показатель степени:

$\log_{\sqrt{5}}5 - \log_{\sqrt{3}}\sqrt{7} = 2 - \log_3 7$.

4. Исходное выражение теперь выглядит так: $3^{2 - \log_3 7}$.

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:

$3^{2 - \log_3 7} = \frac{3^2}{3^{\log_3 7}}$.

5. Вычислим результат.

$3^2 = 9$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $3^{\log_3 7} = 7$.

Таким образом, $\frac{9}{7}$.

Ответ: $\frac{9}{7}$