Номер 16.53, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.53, страница 102.

Расположите числа в порядке возрастания:

16.53. a) $ \log_2 7 $, $ \log_4 3 $ и $ \lg 1 $;

б) $ \log_{0.5} 0.1 $, $ \log_3 0.5 $ и $ \lg 1 $;

в) $ \log_7 9 $, $ \log_3 1 $ и $ \log_5 4 $;

г) $ \log_{0.2} 0.3 $, $ \log_7 0.6 $ и $ \log_2 1 $.

а) Для того чтобы расположить числа $\log_2 7$, $\log_4 3$ и $\lg 1$ в порядке возрастания, сравним их значения, оценив каждое из них.
1. Найдём значение $\lg 1$. Десятичный логарифм (логарифм по основанию 10) от единицы, как и любой другой логарифм от единицы, равен нулю: $\lg 1 = \log_{10} 1 = 0$.
2. Оценим $\log_2 7$. Основание логарифма $2 > 1$, значит, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ возрастает. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $2^3 = 8$. Так как $4 < 7 < 8$, то, логарифмируя, получаем $\log_2 4 < \log_2 7 < \log_2 8$, что означает $2 < \log_2 7 < 3$.
3. Оценим $\log_4 3$. Основание логарифма $4 > 1$, значит, логарифмическая функция $y = \log_4 x$ возрастает. Мы знаем, что $4^0 = 1$ и $4^1 = 4$. Так как $1 < 3 < 4$, то $\log_4 1 < \log_4 3 < \log_4 4$, что означает $0 < \log_4 3 < 1$.
4. Теперь сравним полученные значения: $\lg 1 = 0$, $\log_4 3$ находится в интервале $(0, 1)$, а $\log_2 7$ находится в интервале $(2, 3)$.
Следовательно, $\lg 1 < \log_4 3 < \log_2 7$.
Ответ: $\lg 1$, $\log_4 3$, $\log_2 7$.

б) Для того чтобы расположить числа $\log_{0.5} 0.1$, $\log_3 0.5$ и $\lg 1$ в порядке возрастания, сравним их значения.
1. Найдём значение $\lg 1 = 0$.
2. Оценим $\log_3 0.5$. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому функция $y = \log_3 x$ является возрастающей. Так как аргумент $0.5 < 1$, значение логарифма будет меньше $\log_3 1 = 0$. Следовательно, $\log_3 0.5 < 0$.
3. Оценим $\log_{0.5} 0.1$. Основание логарифма $0.5$ находится в интервале $(0, 1)$, значит, логарифмическая функция $y = \log_{0.5} x$ является убывающей. Сравним аргумент $0.1$ с основанием $0.5$. Так как $0.1 < 0.5$, то из-за убывания функции $\log_{0.5} 0.1 > \log_{0.5} 0.5 = 1$. Таким образом, $\log_{0.5} 0.1$ - положительное число, большее 1.
4. Теперь сравним полученные значения: $\log_3 0.5$ - отрицательное число, $\lg 1 = 0$, а $\log_{0.5} 0.1$ - положительное число.
Следовательно, $\log_3 0.5 < \lg 1 < \log_{0.5} 0.1$.
Ответ: $\log_3 0.5$, $\lg 1$, $\log_{0.5} 0.1$.

в) Для того чтобы расположить числа $\log_7 9$, $\log_3 1$ и $\log_5 4$ в порядке возрастания, сравним их значения.
1. Найдём значение $\log_3 1 = 0$.
2. Оценим $\log_7 9$. Основание $7 > 1$, функция $y = \log_7 x$ возрастающая. Так как аргумент $9 > 7$ (основания), то $\log_7 9 > \log_7 7 = 1$.
3. Оценим $\log_5 4$. Основание $5 > 1$, функция $y = \log_5 x$ возрастающая. Так как аргумент $4 < 5$ (основания) и $4 > 1$, то $\log_5 1 < \log_5 4 < \log_5 5$, что означает $0 < \log_5 4 < 1$.
4. Сравним полученные значения: $\log_3 1 = 0$, $\log_5 4$ находится в интервале $(0, 1)$, а $\log_7 9$ больше 1.
Следовательно, $\log_3 1 < \log_5 4 < \log_7 9$.
Ответ: $\log_3 1$, $\log_5 4$, $\log_7 9$.

г) Для того чтобы расположить числа $\log_{0.2} 0.3$, $\log_7 0.6$ и $\log_2 1$ в порядке возрастания, сравним их значения.
1. Найдём значение $\log_2 1 = 0$.
2. Оценим $\log_7 0.6$. Основание $7 > 1$, функция $y = \log_7 x$ возрастающая. Так как аргумент $0.6 < 1$, то $\log_7 0.6 < \log_7 1 = 0$. Следовательно, $\log_7 0.6$ - отрицательное число.
3. Оценим $\log_{0.2} 0.3$. Основание $0.2 < 1$, функция $y = \log_{0.2} x$ убывающая. Так как $0.2 < 0.3 < 1$, то, применяя логарифм по основанию 0.2, меняем знаки неравенства: $\log_{0.2} 0.2 > \log_{0.2} 0.3 > \log_{0.2} 1$. Это означает $1 > \log_{0.2} 0.3 > 0$.
4. Сравним полученные значения: $\log_7 0.6 < 0$, $\log_2 1 = 0$, а $\log_{0.2} 0.3$ находится в интервале $(0, 1)$.
Следовательно, $\log_7 0.6 < \log_2 1 < \log_{0.2} 0.3$.
Ответ: $\log_7 0.6$, $\log_2 1$, $\log_{0.2} 0.3$.