Номер 17.21, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.21, страница 107.

17.21. a) $\log_2(x^3 - 1) - \log_2(x^2 + x + 1) = 4;$

б) $\log_{0.5}(x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8) = -3;$

в) $\log_{0.3}(x^3 + 27) - \log_{0.3}(x^2 - 3x + 9) = -1;$

г) $\log_5(x^6 + 9x^4 + 27x^2 + 27) = 3.$

а) $ \log_{2}(x^3 - 1) - \log_{2}(x^2 + x + 1) = 4 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1) $ x^3 - 1 > 0 \implies x^3 > 1 \implies x > 1. $

2) $ x^2 + x + 1 > 0 $. Дискриминант этого квадратного трехчлена $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 $. Поскольку $ D < 0 $ и старший коэффициент (равный 1) положителен, выражение $ x^2 + x + 1 $ положительно при любых действительных значениях $x$.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x > 1 $.

Используем свойство разности логарифмов $ \log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N} $:

$ \log_{2}\left(\frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1}\right) = 4 $

Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $ к числителю дроби в аргументе логарифма:

$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $

Подставим это в уравнение и сократим дробь:

$ \log_{2}\left(\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1}\right) = 4 $

$ \log_{2}(x - 1) = 4 $

По определению логарифма:

$ x - 1 = 2^4 $

$ x - 1 = 16 $

$ x = 17 $

Найденный корень $ x = 17 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 17 > 1 $).

Ответ: $17$

б) $ \log_{0,5}(x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8) = -3 $

Заметим, что выражение в аргументе логарифма является полным кубом разности. Используем формулу $ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $.

Пусть $ a = x^2 $ и $ b = 2 $. Тогда:

$ (x^2 - 2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(2) + 3(x^2)(2^2) - 2^3 = x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8 $

Перепишем исходное уравнение:

$ \log_{0,5}((x^2 - 2)^3) = -3 $

ОДЗ: $ (x^2 - 2)^3 > 0 \implies x^2 - 2 > 0 \implies x^2 > 2 $.

Используем свойство логарифма степени $ \log_a M^p = p \log_a M $:

$ 3 \log_{0,5}(x^2 - 2) = -3 $

$ \log_{0,5}(x^2 - 2) = -1 $

По определению логарифма:

$ x^2 - 2 = (0,5)^{-1} $

$ x^2 - 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} $

$ x^2 - 2 = 2 $

$ x^2 = 4 $

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = -2 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x^2 > 2 $).

Для $ x_1 = 2 $: $ 2^2 = 4 $, $ 4 > 2 $. Корень подходит.

Для $ x_2 = -2 $: $ (-2)^2 = 4 $, $ 4 > 2 $. Корень подходит.

Ответ: $-2; 2$

в) $ \log_{0,3}(x^3 + 27) - \log_{0,3}(x^2 - 3x + 9) = -1 $

Найдем ОДЗ:

1) $ x^3 + 27 > 0 \implies x^3 > -27 \implies x > -3. $

2) $ x^2 - 3x + 9 > 0 $. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0 $. Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент положителен, выражение всегда положительно.

ОДЗ уравнения: $ x > -3 $.

Используем свойство разности логарифмов:

$ \log_{0,3}\left(\frac{x^3 + 27}{x^2 - 3x + 9}\right) = -1 $

Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $:

$ x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) $

Подставим в уравнение и упростим:

$ \log_{0,3}\left(\frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x^2 - 3x + 9}\right) = -1 $

$ \log_{0,3}(x + 3) = -1 $

По определению логарифма:

$ x + 3 = (0,3)^{-1} $

$ x + 3 = \left(\frac{3}{10}\right)^{-1} $

$ x + 3 = \frac{10}{3} $

$ x = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10 - 9}{3} = \frac{1}{3} $

Корень $ x = \frac{1}{3} $ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{3} > -3 $).

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) $ \log_{5}(x^6 + 9x^4 + 27x^2 + 27) = 3 $

Заметим, что выражение в аргументе логарифма является полным кубом суммы. Используем формулу $ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $.

Пусть $ a = x^2 $ и $ b = 3 $. Тогда:

$ (x^2 + 3)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2(3) + 3(x^2)(3^2) + 3^3 = x^6 + 9x^4 + 27x^2 + 27 $

Перепишем исходное уравнение:

$ \log_{5}((x^2 + 3)^3) = 3 $

ОДЗ: $ (x^2 + 3)^3 > 0 $. Так как $ x^2 \ge 0 $, то $ x^2 + 3 \ge 3 > 0 $, следовательно, выражение всегда положительно. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Используем свойство логарифма степени:

$ 3 \log_{5}(x^2 + 3) = 3 $

$ \log_{5}(x^2 + 3) = 1 $

По определению логарифма:

$ x^2 + 3 = 5^1 $

$ x^2 + 3 = 5 $

$ x^2 = 2 $

$ x_1 = \sqrt{2} $, $ x_2 = -\sqrt{2} $

Оба корня являются действительными числами и входят в ОДЗ.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$