Номер 17.22, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.22, страница 107.

17.22. a) $\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 = 0;$

б) $\log_4^2 x - \log_4 x - 2 = 0;$

в) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0;$

г) $\log_{0,2}^2 x + \log_{0,2} x - 6 = 0.$

а) $\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2$.

2) $\log_2 x = 3 \implies x_2 = 2^3 = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 2; 8.

б) $\log_4^2 x - \log_4 x - 2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_4 x$. ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_4 x$. Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$

Выполним обратную замену:

1) $\log_4 x = -1 \implies x_1 = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.

2) $\log_4 x = 2 \implies x_2 = 4^2 = 16$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $\frac{1}{4}$; 16.

в) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$

Уравнение является квадратным относительно $\log_{\frac{1}{2}} x$. ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{\frac{1}{2}} x$. Получаем уравнение:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корни уравнения:

$t_1 = -1$ и $t_2 = -2$

Выполним обратную замену:

1) $\log_{\frac{1}{2}} x = -1 \implies x_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x = -2 \implies x_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 2; 4.

г) $\log_{0.2}^2 x + \log_{0.2} x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\log_{0.2} x$. ОДЗ: $x > 0$.

Введем замену: пусть $t = \log_{0.2} x$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1-5}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1+5}{2} = 2$

Выполним обратную замену, учитывая, что $0.2 = \frac{1}{5}$:

1) $\log_{0.2} x = -3 \implies x_1 = (0.2)^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$.

2) $\log_{0.2} x = 2 \implies x_2 = (0.2)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $\frac{1}{25}$; 125.