Номер 17.19, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.19, страница 107.

17.19. a) $\log_2(x - 3)(x + 5) + \log_2\frac{x - 3}{x + 5} = 2;$

б) $\log_3(x + 3)(x + 5) + \log_3\frac{x + 3}{x + 5} = 4.$

а) $ \log_2((x-3)(x+5)) + \log_2(\frac{x-3}{x+5}) = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} (x-3)(x+5) > 0 \\ \frac{x-3}{x+5} > 0 \end{cases} $

Оба неравенства равносильны. Решим первое неравенство $ (x-3)(x+5) > 0 $. Корнями соответствующего уравнения являются $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -5 $. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty) $. Это и есть ОДЗ.

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc) $, преобразуем левую часть уравнения:

$ \log_2 \left( (x-3)(x+5) \cdot \frac{x-3}{x+5} \right) = 2 $

Сокращаем дробь (это возможно, так как в ОДЗ $ x+5 \neq 0 $):

$ \log_2((x-3)^2) = 2 $

По определению логарифма:

$ (x-3)^2 = 2^2 $

$ (x-3)^2 = 4 $

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$ x-3 = 2 $ или $ x-3 = -2 $

Решаем полученные уравнения:

$ x_1 = 5 $

$ x_2 = 1 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty) $.

Корень $ x_1 = 5 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 5 > 3 $.

Корень $ x_2 = 1 $ не принадлежит ОДЗ, так как он не входит ни в один из интервалов.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $ 5 $.

б) $ \log_3((x+3)(x+5)) + \log_3(\frac{x+3}{x+5}) = 4 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} (x+3)(x+5) > 0 \\ \frac{x+3}{x+5} > 0 \end{cases} $

Оба неравенства равносильны. Решим неравенство $ (x+3)(x+5) > 0 $. Корнями соответствующего уравнения являются $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = -5 $. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -5) \cup (-3, \infty) $. Это и есть ОДЗ.

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc) $, преобразуем левую часть уравнения:

$ \log_3 \left( (x+3)(x+5) \cdot \frac{x+3}{x+5} \right) = 4 $

Сокращаем дробь (это возможно, так как в ОДЗ $ x+5 \neq 0 $):

$ \log_3((x+3)^2) = 4 $

По определению логарифма:

$ (x+3)^2 = 3^4 $

$ (x+3)^2 = 81 $

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$ x+3 = 9 $ или $ x+3 = -9 $

Решаем полученные уравнения:

$ x_1 = 6 $

$ x_2 = -12 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x \in (-\infty, -5) \cup (-3, \infty) $.

Корень $ x_1 = 6 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 6 > -3 $.

Корень $ x_2 = -12 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -12 < -5 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ -12; 6 $.