Номер 17.23, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.23, страница 107.

17.23. a) $2 \log_{5}^{2} x + 5 \log_{5} x + 2 = 0;$

б) $3 \log_{4}^{2} x - 7 \log_{4} x + 2 = 0;$

в) $2 \log_{0.3}^{2} x - 7 \log_{0.3} x - 4 = 0;$

г) $3 \log_{0.5}^{2} x + 5 \log_{0.5} x - 2 = 0.$

а) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 = 0$

Это логарифмическое уравнение, которое сводится к квадратному. Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.
Данное уравнение является квадратным относительно $\log_5 x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Тогда уравнение принимает вид: $2t^2 + 5t + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
Корни уравнения для $t$ равны:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = -2$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1) Если $t_1 = -2$, то $\log_5 x = -2$. По определению логарифма, $x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.
2) Если $t_2 = -0.5$, то $\log_5 x = -0.5$. Тогда $x = 5^{-0.5} = 5^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Оба полученных значения $x$ положительны, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{25}$, $x_2 = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

б) $3 \log_4^2 x - 7 \log_4 x + 2 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену $t = \log_4 x$. Уравнение примет вид: $3t^2 - 7t + 2 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Выполним обратную замену:
1) $\log_4 x = \frac{1}{3} \implies x = 4^{1/3} = \sqrt[3]{4}$.
2) $\log_4 x = 2 \implies x = 4^2 = 16$.
Оба корня положительны, значит, входят в ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \sqrt[3]{4}$, $x_2 = 16$.

в) $2 \log_{0.3}^2 x - 7 \log_{0.3} x - 4 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Пусть $t = \log_{0.3} x$. Уравнение преобразуется к виду:
$2t^2 - 7t - 4 = 0$
Вычислим дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_{0.3} x = -0.5 \implies x = (0.3)^{-0.5} = (\frac{3}{10})^{-1/2} = (\frac{10}{3})^{1/2} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$.
2) $\log_{0.3} x = 4 \implies x = (0.3)^4 = (\frac{3}{10})^4 = \frac{81}{10000} = 0.0081$.
Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 0.0081$, $x_2 = \frac{\sqrt{30}}{3}$.

г) $3 \log_{0.5}^2 x + 5 \log_{0.5} x - 2 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Произведем замену переменной $t = \log_{0.5} x$. Получим квадратное уравнение:
$3t^2 + 5t - 2 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Выполним обратную замену для нахождения $x$:
1) $\log_{0.5} x = -2 \implies x = (0.5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
2) $\log_{0.5} x = \frac{1}{3} \implies x = (0.5)^{1/3} = (\frac{1}{2})^{1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.
Оба корня являются положительными числами, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.