Номер 17.27, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.27, страница 108.

17.27. a) $\frac{1}{\log_2 x - 3} + \frac{4}{\log_2 x + 1} = \frac{4}{\log_2^2 x - 2 \log_2 x - 3}$

б) $\frac{\log_3 x}{2 \log_3 x - 6} + \frac{9}{9 - \log_3^2 x} = \frac{8}{2 \log_3 x + 6}$

в) $\frac{1}{5 - 4 \lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3$

г) $\frac{-4}{2 \lg x - \lg^2 x} + \frac{2}{2 - \lg x} = \frac{1}{2}$

а) $\frac{1}{\log_2 x - 3} + \frac{4}{\log_2 x + 1} = \frac{4}{\log_2^2 x - 2\log_2 x - 3}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$. Знаменатели не должны равняться нулю:
$\log_2 x - 3 \neq 0 \Rightarrow \log_2 x \neq 3 \Rightarrow x \neq 2^3 \Rightarrow x \neq 8$.
$\log_2 x + 1 \neq 0 \Rightarrow \log_2 x \neq -1 \Rightarrow x \neq 2^{-1} \Rightarrow x \neq 0.5$.
$\log_2^2 x - 2\log_2 x - 3 \neq 0$. Разложим знаменатель на множители: $\log_2^2 x - 2\log_2 x - 3 = (\log_2 x - 3)(\log_2 x + 1)$. Это условие совпадает с двумя предыдущими.
Итак, ОДЗ: $x > 0, x \neq 8, x \neq 0.5$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{t - 3} + \frac{4}{t + 1} = \frac{4}{t^2 - 2t - 3}$
$\frac{1}{t - 3} + \frac{4}{t + 1} = \frac{4}{(t - 3)(t + 1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(t - 3)(t + 1)$, учитывая, что $t \neq 3$ и $t \neq -1$:
$1 \cdot (t + 1) + 4 \cdot (t - 3) = 4$
$t + 1 + 4t - 12 = 4$
$5t - 11 = 4$
$5t = 15$
$t = 3$

Полученное значение $t=3$ не входит в область допустимых значений для переменной $t$, так как при $t=3$ знаменатель $\log_2 x - 3$ обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: нет корней.

б) $\frac{\log_3 x}{2\log_3 x - 6} + \frac{9}{9 - \log_3^2 x} = \frac{8}{2\log_3 x + 6}$

ОДЗ: $x > 0$. Знаменатели не равны нулю:
$2\log_3 x - 6 \neq 0 \Rightarrow \log_3 x \neq 3 \Rightarrow x \neq 27$.
$9 - \log_3^2 x \neq 0 \Rightarrow \log_3^2 x \neq 9 \Rightarrow \log_3 x \neq \pm 3 \Rightarrow x \neq 27, x \neq 3^{-3} = \frac{1}{27}$.
$2\log_3 x + 6 \neq 0 \Rightarrow \log_3 x \neq -3 \Rightarrow x \neq \frac{1}{27}$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 27, x \neq \frac{1}{27}$.

Пусть $t = \log_3 x$. Уравнение примет вид:
$\frac{t}{2(t - 3)} + \frac{9}{9 - t^2} = \frac{8}{2(t + 3)}$
$\frac{t}{2(t - 3)} - \frac{9}{(t - 3)(t + 3)} = \frac{4}{t + 3}$

Умножим обе части на общий знаменатель $2(t - 3)(t + 3)$ при условии $t \neq \pm 3$:
$t(t + 3) - 9 \cdot 2 = 4 \cdot 2(t - 3)$
$t^2 + 3t - 18 = 8t - 24$
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета находим корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Корень $t_2 = 3$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ для $t$. Остается $t_1 = 2$.
Выполняем обратную замену:
$\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $9$.

в) $\frac{1}{5 - 4\lg x} + \frac{4}{1 + \lg x} = 3$

ОДЗ: $x > 0$. Знаменатели не равны нулю:
$5 - 4\lg x \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq \frac{5}{4} \Rightarrow x \neq 10^{5/4}$.
$1 + \lg x \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq -1 \Rightarrow x \neq 10^{-1} = 0.1$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 10^{5/4}, x \neq 0.1$.

Пусть $t = \lg x$. Уравнение:
$\frac{1}{5 - 4t} + \frac{4}{1 + t} = 3$

Умножим на общий знаменатель $(5 - 4t)(1 + t)$ при условии $t \neq \frac{5}{4}$ и $t \neq -1$:
$1(1 + t) + 4(5 - 4t) = 3(5 - 4t)(1 + t)$
$1 + t + 20 - 16t = 3(5 + 5t - 4t - 4t^2)$
$21 - 15t = 3(5 + t - 4t^2)$
$21 - 15t = 15 + 3t - 12t^2$
$12t^2 - 18t + 6 = 0$
Разделим на 6:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
$t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$
$t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$
$t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня удовлетворяют условиям для $t$.

Выполняем обратную замену:
1) $\lg x = 1 \Rightarrow x_1 = 10^1 = 10$.
2) $\lg x = \frac{1}{2} \Rightarrow x_2 = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $10; \sqrt{10}$.

г) $\frac{-4}{2\lg x - \lg^2 x} + \frac{2}{2 - \lg x} = \frac{1}{2}$

ОДЗ: $x > 0$. Знаменатели не равны нулю:
$2\lg x - \lg^2 x \neq 0 \Rightarrow \lg x(2 - \lg x) \neq 0 \Rightarrow \lg x \neq 0$ и $\lg x \neq 2$.
$\lg x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
$\lg x \neq 2 \Rightarrow x \neq 100$.
ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, x \neq 100$.

Пусть $t = \lg x$. Уравнение:
$\frac{-4}{2t - t^2} + \frac{2}{2 - t} = \frac{1}{2}$
$\frac{-4}{t(2 - t)} + \frac{2}{2 - t} = \frac{1}{2}$

Умножим на общий знаменатель $2t(2 - t)$ при условии $t \neq 0$ и $t \neq 2$:
$-4 \cdot 2 + 2 \cdot (2t) = 1 \cdot t(2 - t)$
$-8 + 4t = 2t - t^2$
$t^2 + 2t - 8 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -4$, $t_2 = 2$.
Корень $t_2 = 2$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ для $t$. Остается $t_1 = -4$.

Выполняем обратную замену:
$\lg x = -4 \Rightarrow x = 10^{-4} = 0.0001$.
Корень $x=0.0001$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $0.0001$.