Номер 17.31, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.31, страница 108.

17.31. a) $log^2_{0,5} 4x + log_2 \frac{x^2}{8} = 8;$

б) $log^2_3 x + log^2_9 x + log^2_{27} x = \frac{49}{9}.$

а) Решение уравнения $\log^2_{0,5} 4x + \log_2 \frac{x^2}{8} = 8$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$4x > 0 \implies x > 0$
$\frac{x^2}{8} > 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

2. Приведем все логарифмы к основанию 2.
Для первого слагаемого используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ и свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:
$\log_{0,5} 4x = \log_{2^{-1}} 4x = -\log_2 4x = -(\log_2 4 + \log_2 x) = -(2 + \log_2 x)$.
Тогда $\log^2_{0,5} 4x = (-(2 + \log_2 x))^2 = (2 + \log_2 x)^2$.

3. Для второго слагаемого используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ и степени $\log_a b^k = k\log_a b$:
$\log_2 \frac{x^2}{8} = \log_2 x^2 - \log_2 8 = 2\log_2 x - 3$.

4. Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$(2 + \log_2 x)^2 + (2\log_2 x - 3) = 8$.

5. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:
$(2 + t)^2 + 2t - 3 = 8$.

6. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$4 + 4t + t^2 + 2t - 3 = 8$
$t^2 + 6t + 1 = 8$
$t^2 + 6t - 7 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

7. Выполним обратную замену:
При $t = 1$: $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$.
При $t = -7$: $\log_2 x = -7 \implies x = 2^{-7} = \frac{1}{128}$.

Оба корня ($2$ и $\frac{1}{128}$) принадлежат ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $2; \frac{1}{128}$.

б) Решение уравнения $\log^2_3 x + \log^2_9 x + \log^2_{27} x = \frac{49}{9}$

1. ОДЗ уравнения: $x > 0$.

2. Приведем все логарифмы к основанию 3, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2}\log_3 x$
$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3}\log_3 x$.

3. Подставим преобразованные логарифмы в уравнение:
$(\log_3 x)^2 + (\frac{1}{2}\log_3 x)^2 + (\frac{1}{3}\log_3 x)^2 = \frac{49}{9}$
$(\log_3 x)^2 + \frac{1}{4}(\log_3 x)^2 + \frac{1}{9}(\log_3 x)^2 = \frac{49}{9}$.

4. Введем замену. Пусть $t = \log_3 x$. Уравнение принимает вид:
$t^2 + \frac{1}{4}t^2 + \frac{1}{9}t^2 = \frac{49}{9}$.

5. Вынесем $t^2$ за скобки и решим уравнение:
$t^2(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}) = \frac{49}{9}$
$t^2(\frac{36 + 9 + 4}{36}) = \frac{49}{9}$
$t^2(\frac{49}{36}) = \frac{49}{9}$.
Разделим обе части на $\frac{49}{36}$:
$t^2 = \frac{49}{9} \cdot \frac{36}{49} = \frac{36}{9} = 4$.

6. Отсюда $t = \pm\sqrt{4}$, то есть $t_1 = 2$ и $t_2 = -2$.

7. Выполним обратную замену:
При $t = 2$: $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$.
При $t = -2$: $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня ($9$ и $\frac{1}{9}$) принадлежат ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $9; \frac{1}{9}$.