Номер 17.38, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.38, страница 109.

17.38. a) $\log_9(3^x + 2x - 20) = x - x \log_9 3;$

б) $0.4^{(\lg x)^2 - 1} = 6.25^{-2 - \lg x^2}.$

а) $\log_{9}(3^x + 2x - 20) = x - x \log_{9} 3$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3^x + 2x - 20 > 0$

Преобразуем правую часть уравнения. Существует несколько способов. Рассмотрим один из них. Используем свойство логарифма $a = \log_{b} b^a$ и $c \log_{b} a = \log_{b} a^c$.

$x = \log_{9} 9^x$

$x \log_{9} 3 = \log_{9} 3^x$

Тогда правая часть уравнения примет вид:

$\log_{9} 9^x - \log_{9} 3^x = \log_{9}\left(\frac{9^x}{3^x}\right) = \log_{9}\left(\left(\frac{9}{3}\right)^x\right) = \log_{9} 3^x$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_{9}(3^x + 2x - 20) = \log_{9} 3^x$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$3^x + 2x - 20 = 3^x$

Вычтем $3^x$ из обеих частей уравнения:

$2x - 20 = 0$

$2x = 20$

$x = 10$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ:

$3^{10} + 2(10) - 20 = 3^{10} + 20 - 20 = 3^{10}$

Так как $3^{10} > 0$, корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

б) $0,4^{\lg^2 x - 1} = 6,25^{-2 - \lg x^2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы десятичных логарифмов ($\lg$) должны быть положительными:

$x > 0$ и $x^2 > 0$. Второе условие означает $x \neq 0$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\lg^2 x - 1} = \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\right)^{-2 - \lg x^2}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\lg^2 x - 1} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2(-2 - \lg x^2)}$

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\lg^2 x - 1} = \left(\frac{2}{5}\right)^{4 + 2\lg x^2}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\lg^2 x - 1 = 4 + 2\lg x^2$

Используем свойство логарифма $\lg x^2 = 2\lg x$. Это преобразование корректно, так как по ОДЗ $x>0$.

$\lg^2 x - 1 = 4 + 2(2\lg x)$

$\lg^2 x - 1 = 4 + 4\lg x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\lg x$:

$\lg^2 x - 4\lg x - 5 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 4$

$t_1 \cdot t_2 = -5$

Подбором находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\lg x = 5 \Rightarrow x = 10^5 = 100000$.

2) $\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0,1$.

Оба корня, $100000$ и $0,1$, положительны, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0,1; 100000$.