Номер 18.1, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.1, страница 110.

Решите неравенство:

18.1. а) $\log_2 x \ge 4$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} x > -3$;

в) $\log_2 x < \frac{1}{2}$;

г) $\log_{0,1} x \le -\frac{1}{2}$.

а) Дано логарифмическое неравенство $log_2 x \geq 4$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
Основание логарифма равно 2. Так как основание $a = 2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для его аргументов знак неравенства сохраняется.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $4 = \log_2 (2^4) = \log_2 16$.
Исходное неравенство можно переписать как $log_2 x \geq \log_2 16$.
Так как функция возрастающая, переходим к неравенству для аргументов: $x \geq 16$.
Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x > 0$). Решение $x \geq 16$ полностью удовлетворяет этому условию.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $[16, +\infty)$.
Ответ: $x \in [16; +\infty)$.

б) Дано логарифмическое неравенство $log_{\frac{1}{2}} x > -3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма равно $\frac{1}{2}$. Так как основание $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для его аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
Перепишем неравенство, используя определение логарифма:
$log_{\frac{1}{2}} x > -3$
$x < (\frac{1}{2})^{-3}$
$x < (2^{-1})^{-3}$
$x < 2^3$
$x < 8$
Совмещаем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Получаем систему:
$\begin{cases} x < 8 \\ x > 0 \end{cases}$
Решением системы является интервал $0 < x < 8$.
Ответ: $x \in (0; 8)$.

в) Дано логарифмическое неравенство $log_2 x < \frac{1}{2}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a = 2 > 1$, следовательно, функция $y = \log_2 x$ возрастающая. Знак неравенства при потенцировании сохраняется.
$log_2 x < \frac{1}{2}$
$x < 2^{\frac{1}{2}}$
$x < \sqrt{2}$
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем двойное неравенство $0 < x < \sqrt{2}$.
Ответ: $x \in (0; \sqrt{2})$.

г) Дано логарифмическое неравенство $log_{0,1} x \leq -\frac{1}{2}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, функция $y = \log_{0,1} x$ является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства $\leq$ изменится на $\geq$.
$log_{0,1} x \leq -\frac{1}{2}$
$x \geq (0,1)^{-\frac{1}{2}}$
Преобразуем правую часть: $(0,1)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{10})^{-\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}$.
Таким образом, получаем $x \geq \sqrt{10}$.
Решение $x \geq \sqrt{10}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), так как $\sqrt{10} > 0$.
Ответ: $x \in [\sqrt{10}; +\infty)$.