Номер 17.39, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.39, страница 109.

17.39. a) $x^2 \log_{36} (5x^2 - 2x - 3) - x \log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = x^2 + x;$

б) $x^2 \log_2 \frac{3+x}{10} - x^2 \log_{\frac{1}{2}}(2+3x) = x^2 - 4 + 2\log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2 + 11x + 6}{10}.$

а)

Исходное уравнение: $x^2 \log_{36}(5x^2 - 2x - 3) - x \log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = x^2 + x$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$5x^2 - 2x - 3 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $5x^2 - 2x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_1 = \frac{2 - 8}{10} = -0.6$ и $x_2 = \frac{2 + 8}{10} = 1$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется для $x \in (-\infty; -0.6) \cup (1; \infty)$. Это и есть ОДЗ.

2. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\log_{36} a = \log_{6^2} a = \frac{1}{2}\log_6 a$

$\log_{\frac{1}{6}} a = \log_{6^{-1}} a = -\log_6 a$

$\log_b a^p = p\log_b a$

Применим эти свойства к нашему уравнению:

$x^2 \cdot \frac{1}{2} \log_6(5x^2 - 2x - 3) - x \cdot (-\log_6(5x^2 - 2x - 3)^{\frac{1}{2}}) = x^2 + x$

$\frac{x^2}{2} \log_6(5x^2 - 2x - 3) + x \cdot \frac{1}{2} \log_6(5x^2 - 2x - 3) = x^2 + x$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\log_6(5x^2-2x-3)$ в левой части:

$\frac{1}{2}(x^2+x)\log_6(5x^2-2x-3) = x^2+x$

3. Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$(x^2+x)\left(\frac{1}{2}\log_6(5x^2-2x-3) - 1\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x=-1$.

Проверяем по ОДЗ: $x=0$ не входит в ОДЗ. $x=-1$ входит в ОДЗ, так как $-1 < -0.6$. Значит, $x=-1$ — корень уравнения.

Случай 2: $\frac{1}{2}\log_6(5x^2-2x-3) - 1 = 0 \Rightarrow \log_6(5x^2-2x-3) = 2$.

По определению логарифма: $5x^2-2x-3 = 6^2 = 36$.

$5x^2-2x-39 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784 = 28^2$.

Корни: $x_3 = \frac{2 - 28}{10} = -2.6$ и $x_4 = \frac{2 + 28}{10} = 3$.

Проверяем по ОДЗ: $x=-2.6$ входит в ОДЗ, так как $-2.6 < -0.6$. $x=3$ входит в ОДЗ, так как $3 > 1$. Оба значения являются корнями.

Ответ: $-2.6; -1; 3$.

б)

Исходное уравнение: $x^2 \log_2 \frac{3+x}{10} - x^2 \log_{\frac{1}{2}}(2+3x) = x^2 - 4 + 2 \log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2+11x+6}{10}$.

1. Найдем ОДЗ. Все аргументы логарифмов должны быть положительными:

1) $\frac{3+x}{10} > 0 \Rightarrow x > -3$.

2) $2+3x > 0 \Rightarrow x > -\frac{2}{3}$.

3) $\frac{3x^2+11x+6}{10} > 0 \Rightarrow 3x^2+11x+6 > 0$. Корни трехчлена $3x^2+11x+6=0$ равны $x=-3$ и $x=-\frac{2}{3}$. Неравенство верно при $x \in (-\infty; -3) \cup (-\frac{2}{3}; \infty)$.

Пересечение всех трех условий дает ОДЗ: $x > -\frac{2}{3}$.

2. Преобразуем уравнение. Заметим, что $3x^2+11x+6 = (x+3)(3x+2)$. Используем свойства логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}}a = -\log_2 a$

$\log_{\sqrt{2}}a = \log_{2^{\frac{1}{2}}}a = 2\log_2 a$

Подставим в уравнение:

$x^2 \log_2 \frac{x+3}{10} + x^2 \log_2(3x+2) = x^2 - 4 + 2 \cdot 2 \log_2 \frac{(x+3)(3x+2)}{10}$

Сгруппируем логарифмы в левой части:

$x^2 \left(\log_2 \frac{x+3}{10} + \log_2(3x+2)\right) = x^2 - 4 + 4 \log_2 \frac{(x+3)(3x+2)}{10}$

$x^2 \log_2 \left(\frac{x+3}{10} \cdot (3x+2)\right) = x^2 - 4 + 4 \log_2 \frac{(x+3)(3x+2)}{10}$

$x^2 \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = x^2 - 4 + 4 \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$

3. Введем замену. Пусть $A = \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$. Уравнение примет вид:

$x^2 A = x^2 - 4 + 4A$

$x^2 A - 4A = x^2 - 4$

$A(x^2 - 4) = x^2 - 4$

$(x^2-4)(A-1) = 0$

4. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$. Отсюда $x=2$ или $x=-2$.

Проверяем по ОДЗ ($x > -2/3$): $x=2$ подходит, $x=-2$ не подходит.

Случай 2: $A - 1 = 0 \Rightarrow A = 1$.

Возвращаемся к замене: $\log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = 1$.

По определению логарифма: $\frac{3x^2+11x+6}{10} = 2^1 = 2$.

$3x^2+11x+6 = 20 \Rightarrow 3x^2+11x-14=0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.

Корни: $x = \frac{-11 - 17}{6} = -\frac{28}{6} = -\frac{14}{3}$ и $x = \frac{-11 + 17}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Проверяем по ОДЗ ($x > -2/3$): $x=1$ подходит, $x=-14/3$ не подходит.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $1; 2$.