Номер 17.41, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.41, страница 109.

17.41. a) $\log_5(x + y) = 1,$

$\log_6 x + \log_6 y = 1;$

б) $\log_{0,5}(x + 2y) = \log_{0,5}(3x + y),$

$\log_7(x^2 - y) = \log_7 x;$

в) $\log_9(x - y) = \frac{1}{2},$

$\log_{64} x - \log_{64} y = \frac{1}{3};$

г) $\log_{\frac{1}{3}}(3x - y) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 4),$

$\log_9(x^2 + x - y) = \log_9 x^2;$

a) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_5(x+y) = 1, \\ \log_6 x + \log_6 y = 1; \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$x+y > 0$

$x > 0$

$y > 0$

Условия $x > 0$ и $y > 0$ автоматически обеспечивают выполнение условия $x+y > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя определение логарифма:

$\log_5(x+y) = 1 \implies x+y = 5^1 \implies x+y = 5$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_6 x + \log_6 y = 1 \implies \log_6(xy) = 1 \implies xy = 6^1 \implies xy = 6$

Получили систему алгебраических уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 5-x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(5-x) = 6$

$5x - x^2 = 6$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1=2$ и $x_2=3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1=2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2=3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Получили две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ ($x > 0, y > 0$).

Для пары $(2, 3)$: $2 > 0$ и $3 > 0$. Решение подходит.

Для пары $(3, 2)$: $3 > 0$ и $2 > 0$. Решение подходит.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_{0.5}(x+2y) = \log_{0.5}(3x+y), \\ \log_7(x^2-y) = \log_7 x; \end{cases} $$

ОДЗ определяется условиями:

$x+2y > 0$

$3x+y > 0$

$x^2-y > 0$

$x > 0$

Поскольку основания логарифмов в каждом уравнении равны, мы можем приравнять их аргументы.

Из первого уравнения:

$x+2y = 3x+y \implies y = 2x$

Из второго уравнения:

$x^2-y = x$

Получили систему:

$$ \begin{cases} y = 2x, \\ x^2-y = x. \end{cases} $$

Подставим $y=2x$ во второе уравнение:

$x^2 - 2x = x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

Отсюда $x_1=0$ или $x_2=3$.

Проверим решения по ОДЗ. Условие $x > 0$ исключает корень $x_1=0$.

Остается $x=3$. Найдем соответствующий $y$:

$y = 2x = 2 \cdot 3 = 6$.

Проверим пару $(3, 6)$ на соответствие всем условиям ОДЗ:

$x > 0 \implies 3 > 0$ (верно).

$x+2y > 0 \implies 3 + 2(6) = 15 > 0$ (верно).

$3x+y > 0 \implies 3(3) + 6 = 15 > 0$ (верно).

$x^2-y > 0 \implies 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3 > 0$ (верно).

Решение подходит.

Ответ: $(3, 6)$.

в) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_9(x-y) = \frac{1}{2}, \\ \log_{64}x - \log_{64}y = \frac{1}{3}; \end{cases} $$

ОДЗ:

$x-y > 0 \implies x > y$

$x > 0$

$y > 0$

Объединенное ОДЗ: $x > y > 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$\log_9(x-y) = \frac{1}{2} \implies x-y = 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\log_{64}\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{3} \implies \frac{x}{y} = 64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4 \implies x=4y$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x-y = 3, \\ x = 4y. \end{cases} $$

Подставим $x=4y$ в первое уравнение:

$4y - y = 3$

$3y = 3 \implies y = 1$

Теперь найдем $x$:

$x = 4y = 4 \cdot 1 = 4$

Получили решение $(4, 1)$.

Проверим его на соответствие ОДЗ ($x > y > 0$):

$4 > 1 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $(4, 1)$.

г) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(3x-y) = \log_{\frac{1}{3}}(x+4), \\ \log_9(x^2+x-y) = \log_9 x^2. \end{cases} $$

ОДЗ:

$3x-y > 0$

$x+4 > 0 \implies x > -4$

$x^2+x-y > 0$

$x^2 > 0 \implies x \ne 0$

Приравняем аргументы логарифмов в каждом уравнении.

Из первого уравнения:

$3x-y = x+4 \implies 2x - 4 = y$

Из второго уравнения:

$x^2+x-y = x^2 \implies x-y=0 \implies x=y$

Получили систему:

$$ \begin{cases} y = 2x-4, \\ y = x. \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений:

$x = 2x-4$

$x=4$

Так как $y=x$, то $y=4$.

Получили решение $(4, 4)$.

Проверим его по ОДЗ:

$x > -4 \implies 4 > -4$ (верно).

$x \ne 0 \implies 4 \ne 0$ (верно).

$3x-y > 0 \implies 3(4)-4 = 12-4 = 8 > 0$ (верно).

$x^2+x-y > 0 \implies 4^2+4-4 = 16 > 0$ (верно).

Все условия ОДЗ выполнены.

Ответ: $(4, 4)$.