Номер 17.42, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.42, страница 110.

17.42. a) $\begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{2x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \frac{1}{27}, \\ \log_2 2x - \log_2 y = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \cdot (\sqrt{2})^{y} = \log_9 3, \\ \log_4 y - \log_4 x = 1. \end{cases}$

а)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16 \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется вторым уравнением: аргументы логарифмов должны быть положительными, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{x+y} = 16$

Так как $16 = 2^4$, получаем:

$2^{x+y} = 2^4$

Отсюда следует, что $x+y = 4$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3 (xy) = 1$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):

$xy = 3^1$

$xy = 3$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4-x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(4-x) = 3$

$4x - x^2 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_1+x_2=4$, $x_1 \cdot x_2=3$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$.

2. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Обе пары решений, $(1, 3)$ и $(3, 1)$, удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

б)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{2x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \frac{1}{27} \\ \log_2 2x - \log_2 y = 2 \end{cases} $$

ОДЗ: $2x > 0$ и $y > 0$, что равносильно $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} = \frac{1}{27}$

Так как $\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$, получаем:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$

Отсюда $2x-y = 3$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_2 \left(\frac{2x}{y}\right) = 2$

По определению логарифма:

$\frac{2x}{y} = 2^2$

$\frac{2x}{y} = 4$, откуда $2x = 4y$, то есть $x = 2y$.

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x-y = 3 \\ x = 2y \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое:

$2(2y) - y = 3$

$4y - y = 3$

$3y = 3$

$y = 1$

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$.

Решение $(2, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x=2>0$ и $y=1>0$).

Ответ: $(2, 1)$.

в)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81 \\ \log_2 x + \log_2 y = 1 \end{cases} $$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя все степени к основанию 3. Так как $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$, имеем:

$(3^2)^x \cdot 3^y = 3^4$

$3^{2x} \cdot 3^y = 3^4$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{2x+y} = 3^4$

Отсюда $2x+y = 4$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2 (xy) = 1$

По определению логарифма:

$xy = 2^1$

$xy = 2$

Получили систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x+y = 4 \\ xy = 2 \end{cases} $$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4-2x$.

Подставим во второе уравнение:

$x(4-2x) = 2$

$4x - 2x^2 = 2$

$2x^2 - 4x + 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x-1)^2 = 0$.

Отсюда $x = 1$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 4 - 2x = 4 - 2(1) = 2$.

Решение $(1, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($x=1>0$ и $y=2>0$).

Ответ: $(1, 2)$.

г)

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot (\sqrt{2})^y = \log_9 3 \\ \log_4 y - \log_4 x = 1 \end{cases} $$

ОДЗ: из второго уравнения следует, что $x > 0$ и $y > 0$.

Сначала упростим правую часть первого уравнения:

$\log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} \log_3 3 = \frac{1}{2}$.

Теперь преобразуем левую часть первого уравнения, приведя все степени к основанию 2. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$:

$(2^{-1})^x \cdot (2^{1/2})^y = 2^{-x} \cdot 2^{y/2} = 2^{-x + y/2}$.

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$2^{-x + y/2} = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$-x + \frac{y}{2} = -1$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $-2x + y = -2$ или $y = 2x-2$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_4 \left(\frac{y}{x}\right) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{y}{x} = 4^1$

$y = 4x$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} y = 2x-2 \\ y = 4x \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений, так как левые равны:

$4x = 2x-2$

$2x = -2$

$x = -1$

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 4x = 4(-1) = -4$.

Проверим полученное решение $(-1, -4)$ на соответствие ОДЗ ($x>0, y>0$).

Так как $x=-1 < 0$ и $y=-4 < 0$, найденная пара чисел не входит в область допустимых значений. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.