Номер 17.24, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 17. Логарифмические уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 17.24, страница 107.

17.24. a) $\lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{\lg(10x)}$;

б) $\log_3^2 x + 3 \log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 \left(\frac{x}{27}\right)}$;

в) $\lg^2 x - 2 \lg x + 4 = \frac{9}{\lg(100x)}$;

г) $\log_2^2 x + 7 \log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 \left(\frac{x}{128}\right)}$.

а)

Исходное уравнение: $\lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{\lg 10x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $\lg 10x \neq 0$.
$\lg 10x \neq 0 \implies 10x \neq 1 \implies x \neq 0.1$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 0.1) \cup (0.1, +\infty)$.

Преобразуем знаменатель правой части, используя свойство логарифма произведения: $\lg 10x = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.
Уравнение принимает вид: $\lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{1 + \lg x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение перепишется как:
$t^2 - t + 1 = \frac{9}{1 + t}$, при этом $t \neq -1$.

Умножим обе части на $(1+t)$:
$(t^2 - t + 1)(t + 1) = 9$.
В левой части находится формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=t$ и $b=1$.
$t^3 + 1^3 = 9$
$t^3 + 1 = 9$
$t^3 = 8$
$t = 2$.

Вернемся к исходной переменной:
$\lg x = 2$
$x = 10^2$
$x = 100$.

Корень $x=100$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $100$.

б)

Исходное уравнение: $\log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 \frac{x}{27}}$.
ОДЗ: $x > 0$ и $\log_3 \frac{x}{27} \neq 0$.
$\log_3 \frac{x}{27} \neq 0 \implies \frac{x}{27} \neq 1 \implies x \neq 27$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 27) \cup (27, +\infty)$.

Преобразуем знаменатель правой части, используя свойство логарифма частного: $\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27 = \log_3 x - 3$.
Уравнение принимает вид: $\log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 x - 3}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение перепишется как:
$t^2 + 3t + 9 = \frac{37}{t - 3}$, при этом $t \neq 3$.

Умножим обе части на $(t-3)$:
$(t^2 + 3t + 9)(t - 3) = 37$.
В левой части находится формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=t$ и $b=3$.
$t^3 - 3^3 = 37$
$t^3 - 27 = 37$
$t^3 = 64$
$t = 4$.

Вернемся к исходной переменной:
$\log_3 x = 4$
$x = 3^4$
$x = 81$.

Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $81$.

в)

Исходное уравнение: $\lg^2 x - 2\lg x + 4 = \frac{9}{\lg 100x}$.
ОДЗ: $x > 0$ и $\lg 100x \neq 0$.
$\lg 100x \neq 0 \implies 100x \neq 1 \implies x \neq 0.01$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 0.01) \cup (0.01, +\infty)$.

Преобразуем знаменатель правой части: $\lg 100x = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$.
Уравнение принимает вид: $\lg^2 x - 2\lg x + 4 = \frac{9}{2 + \lg x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение перепишется как:
$t^2 - 2t + 4 = \frac{9}{t + 2}$, при этом $t \neq -2$.

Умножим обе части на $(t+2)$:
$(t^2 - 2t + 4)(t + 2) = 9$.
В левой части находится формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=t$ и $b=2$.
$t^3 + 2^3 = 9$
$t^3 + 8 = 9$
$t^3 = 1$
$t = 1$.

Вернемся к исходной переменной:
$\lg x = 1$
$x = 10^1$
$x = 10$.

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

г)

Исходное уравнение: $\log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 \frac{x}{128}}$.
ОДЗ: $x > 0$ и $\log_2 \frac{x}{128} \neq 0$.
$\log_2 \frac{x}{128} \neq 0 \implies \frac{x}{128} \neq 1 \implies x \neq 128$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 128) \cup (128, +\infty)$.

Преобразуем знаменатель правой части: $\log_2 \frac{x}{128} = \log_2 x - \log_2 128 = \log_2 x - 7$.
Уравнение принимает вид: $\log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 x - 7}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение перепишется как:
$t^2 + 7t + 49 = \frac{-218}{t - 7}$, при этом $t \neq 7$.

Умножим обе части на $(t-7)$:
$(t^2 + 7t + 49)(t - 7) = -218$.
В левой части находится формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=t$ и $b=7$.
$t^3 - 7^3 = -218$
$t^3 - 343 = -218$
$t^3 = 343 - 218$
$t^3 = 125$
$t = 5$.

Вернемся к исходной переменной:
$\log_2 x = 5$
$x = 2^5$
$x = 32$.

Корень $x=32$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $32$.