Номер 11.36, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Показательная функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 11.36, страница 66.

11.36. a) $y = 32 \cdot 2^{x-6} - 5$, $[-1; 2]$;

б) $y = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-4} + 10$, $[-2; 3]$;

в) $y = 27 \cdot 3^{-x-2} + 4$, $[1; 3]$;

г) $y = 125 \cdot 5^{-x-4} - 12$, $[-2; 0]$;

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 32 \cdot 2^{x-6} - 5$ на отрезке $[-1; 2]$, сначала упростим её выражение: $y = 2^5 \cdot 2^{x-6} - 5 = 2^{5+x-6} - 5 = 2^{x-1} - 5$.
Это показательная функция. Основание степени $a=2$ больше 1, а показатель $t(x) = x-1$ является возрастающей функцией. Следовательно, вся функция $y(x)$ является возрастающей на заданном отрезке.
Наименьшее значение возрастающей функции на отрезке достигается в его начале, а наибольшее — в конце.
Вычисляем значения на границах отрезка:
$y_{наим} = y(-1) = 2^{-1-1} - 5 = 2^{-2} - 5 = \frac{1}{4} - 5 = 0.25 - 5 = -4.75$.
$y_{наиб} = y(2) = 2^{2-1} - 5 = 2^1 - 5 = 2 - 5 = -3$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно $-4.75$, наибольшее значение равно $-3$.

б) Для функции $y = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-4} + 10$ на отрезке $[-2; 3]$ найдем наименьшее и наибольшее значения. Упростим выражение: $y = 2^3 \cdot (2^{-1})^{x-4} + 10 = 2^3 \cdot 2^{-x+4} + 10 = 2^{7-x} + 10$.
Это показательная функция с основанием $a=2 > 1$. Показатель степени $t(x) = 7-x$ является убывающей функцией, так как коэффициент при $x$ отрицателен. Следовательно, вся функция $y(x)$ является убывающей.
Наибольшее значение убывающей функции на отрезке достигается в его начале, а наименьшее — в конце.
Вычисляем значения на границах отрезка:
$y_{наиб} = y(-2) = 2^{7-(-2)} + 10 = 2^9 + 10 = 512 + 10 = 522$.
$y_{наим} = y(3) = 2^{7-3} + 10 = 2^4 + 10 = 16 + 10 = 26$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно $26$, наибольшее значение равно $522$.

в) Найдем наименьшее и наибольшее значения для функции $y = 27 \cdot 3^{-x-2} + 4$ на отрезке $[1; 3]$. Упростим выражение: $y = 3^3 \cdot 3^{-x-2} + 4 = 3^{3-x-2} + 4 = 3^{1-x} + 4$.
Это показательная функция с основанием $a=3 > 1$. Показатель степени $t(x) = 1-x$ является убывающей функцией. Следовательно, вся функция $y(x)$ является убывающей.
Наибольшее значение убывающей функции на отрезке достигается в его начале, а наименьшее — в конце.
Вычисляем значения на границах отрезка:
$y_{наиб} = y(1) = 3^{1-1} + 4 = 3^0 + 4 = 1 + 4 = 5$.
$y_{наим} = y(3) = 3^{1-3} + 4 = 3^{-2} + 4 = \frac{1}{9} + 4 = 4\frac{1}{9}$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно $4\frac{1}{9}$, наибольшее значение равно $5$.

г) Найдем наименьшее и наибольшее значения для функции $y = 125 \cdot 5^{-x-4} - 12$ на отрезке $[-2; 0]$. Упростим выражение: $y = 5^3 \cdot 5^{-x-4} - 12 = 5^{3-x-4} - 12 = 5^{-x-1} - 12$.
Это показательная функция с основанием $a=5 > 1$. Показатель степени $t(x) = -x-1$ является убывающей функцией. Следовательно, вся функция $y(x)$ является убывающей.
Наибольшее значение убывающей функции на отрезке достигается в его начале, а наименьшее — в конце.
Вычисляем значения на границах отрезка:
$y_{наиб} = y(-2) = 5^{-(-2)-1} - 12 = 5^{2-1} - 12 = 5^1 - 12 = -7$.
$y_{наим} = y(0) = 5^{-0-1} - 12 = 5^{-1} - 12 = \frac{1}{5} - 12 = 0.2 - 12 = -11.8$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно $-11.8$, наибольшее значение равно $-7$.