Номер 8.37, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.37, страница 49.

8.37. a) Упростите выражение и найдите его значение при

$x = \frac{1}{9}$

$\frac{x^{\frac{5}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{(x+1)(x^2+1)} - \left(x - \frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^2 \sqrt{(1+x^2)^{-1}} - \sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$

б) Упростите выражение и найдите его значение при

$a = \sqrt{0,027}, x = \frac{1}{27}$

$\left( \frac{x^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{4}{3}}}{x + 2x^{\frac{2}{3}}a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{\frac{1}{3}} - 4a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3}}} - \frac{a^{\frac{4}{3}} - 2x}{x - a^{\frac{4}{3}}x^{\frac{1}{3}}} - 2 \right) \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{4}{3}}}{6a^{\frac{2}{3}} - 2}$

а) Упростим данное выражение по частям. Обозначим всё выражение как $E$.

Первый член выражения:$T_1 = \frac{x^{\frac{5}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}}{(x+1)(x^2+1)}$Вынесем в числителе $x^{-\frac{1}{2}}$ за скобки:$x^{\frac{5}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}}(x^3 - 1) = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}}$Тогда:$T_1 = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}$

Второй член выражения (без учёта знака "минус" перед ним):$T_2 = \left(x - \frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^2\sqrt{(1+x^2)^{-1}} - \sqrt{1+x^2}}{1+x^2}$Упростим первый множитель:$x - \frac{x^3}{1+x^2} = \frac{x(1+x^2)-x^3}{1+x^2} = \frac{x+x^3-x^3}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}$Тогда $\left(x - \frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{x}{1+x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1+x^2}{x}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x}}$Упростим второй множитель (дробь):Числитель дроби: $x^2\sqrt{(1+x^2)^{-1}} - \sqrt{1+x^2} = x^2\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \sqrt{1+x^2} = \frac{x^2 - (1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}$Тогда вся дробь равна: $\frac{\frac{-1}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{-1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$Теперь перемножим части $T_2$:$T_2 = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{-1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{-1}{\sqrt{x}(1+x^2)}$

Теперь соберём всё выражение $E = T_1 - T_2$:$E = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} - \left(\frac{-1}{\sqrt{x}(1+x^2)}\right) = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} + \frac{1}{\sqrt{x}(1+x^2)}$Приведём к общему знаменателю $\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)$:$E = \frac{x^3-1 + (x+1)}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} = \frac{x^3+x}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}$Вынесем $x$ в числителе за скобку:$E = \frac{x(x^2+1)}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}$Сократим на $(x^2+1)$, так как $x=1/9 > 0$, то $x^2+1 \neq 0$:$E = \frac{x}{\sqrt{x}(x+1)} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}(x+1)} = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$

Теперь найдём значение выражения при $x = \frac{1}{9}$:$\sqrt{x} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$x+1 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9}$$E = \frac{1/3}{10/9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{10} = 0.3$

Ответ: $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$; $0.3$.

б) Данное выражение, скорее всего, содержит опечатки, так как в исходном виде его упрощение крайне затруднительно. Наиболее вероятная опечатка находится в знаменателе первой дроби в скобках. Будем решать задачу с учётом исправления: знаменатель первой дроби должен быть $x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{4}{3}}$.

Введём замены для упрощения: пусть $u = x^{\frac{1}{3}}$ и $v = a^{\frac{2}{3}}$.Найдём значения $u$ и $v$ при заданных $a = \sqrt{0.027}$ и $x = \frac{1}{27}$.$u = \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.$a = \sqrt{0.027} = \sqrt{\frac{27}{1000}} = (0.3^3)^{\frac{1}{2}} = 0.3^{\frac{3}{2}}$.$v = a^{\frac{2}{3}} = (0.3^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 0.3 = \frac{3}{10}$.Выражение с учётом исправленной опечатки и замен:$ \left( \frac{u^2 - v^2}{(u+v)^2} + \frac{u - 4v^2}{v^2 - u^2} - \frac{v^2 - 2u^3}{u^3 - v^2u} - 2 \right) \cdot \frac{u^2 - v^2}{6v - 2} $Упростим выражение в скобках.Первый член: $\frac{u^2 - v^2}{(u+v)^2} = \frac{(u-v)(u+v)}{(u+v)^2} = \frac{u-v}{u+v}$.Рассмотрим сумму второго и третьего членов (в исходном виде):$S = \frac{u-4v^2}{v^2-u^2} - \frac{v^2-2u^3}{u(u^2-v^2)} = \frac{-u(u-4v^2) - (v^2-2u^3)}{u(u^2-v^2)} = \frac{-u^2+4uv^2-v^2+2u^3}{u(u^2-v^2)}$.Заметим, что упрощение этого выражения зависит от значения $x$. Подставим $u = 1/3$:Числитель: $2(\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{3})^2 + 4(\frac{1}{3})v^2 - v^2 = \frac{2}{27} - \frac{1}{9} + \frac{4}{3}v^2 - v^2 = -\frac{1}{27} + \frac{1}{3}v^2 = \frac{1}{3}(v^2 - \frac{1}{9})$.Знаменатель: $u(u^2-v^2) = \frac{1}{3}((\frac{1}{3})^2-v^2) = \frac{1}{3}(\frac{1}{9}-v^2)$.Тогда $S = \frac{\frac{1}{3}(v^2 - \frac{1}{9})}{\frac{1}{3}(\frac{1}{9}-v^2)} = -1$.Выражение в скобках становится: $\frac{u-v}{u+v} - 1 - 2 = \frac{u-v}{u+v} - 3 = \frac{u-v-3(u+v)}{u+v} = \frac{-2u-4v}{u+v} = \frac{-2(u+2v)}{u+v}$.Теперь умножим это на второй множитель:$ \frac{-2(u+2v)}{u+v} \cdot \frac{u^2 - v^2}{6v - 2} = \frac{-2(u+2v)}{u+v} \cdot \frac{(u-v)(u+v)}{2(3v-1)} = \frac{-(u+2v)(u-v)}{3v-1} $Раскроем скобки в числителе: $-(u^2-uv+2uv-2v^2) = -(u^2+uv-2v^2) = 2v^2-uv-u^2$.Итоговое упрощённое выражение: $\frac{2v^2-uv-u^2}{3v-1}$.Подставим значения $u=1/3$ и $v=3/10$:Числитель: $2(\frac{3}{10})^2 - (\frac{1}{3})(\frac{3}{10}) - (\frac{1}{3})^2 = 2(\frac{9}{100}) - \frac{1}{10} - \frac{1}{9} = \frac{18}{100} - \frac{10}{100} - \frac{1}{9} = \frac{8}{100} - \frac{1}{9} = \frac{2}{25} - \frac{1}{9} = \frac{18-25}{225} = -\frac{7}{225}$.Знаменатель: $3(\frac{3}{10})-1 = \frac{9}{10}-1 = -\frac{1}{10}$.Итоговое значение: $\frac{-7/225}{-1/10} = \frac{7}{225} \cdot 10 = \frac{70}{225} = \frac{14}{45}$.

Ответ: $\frac{14}{45}$.