Номер 9.3, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.3, страница 50.

9.3. Вычислите:

а) $f(4)$, если $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$;

б) $f(1)$, если $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$;

в) $f(0)$, если $f(x) = x^{\frac{6}{7}}$;

г) $f(8)$, если $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.

а) f(4), если $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$;
Чтобы найти значение функции $f(4)$, необходимо подставить значение $x=4$ в заданную формулу функции $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$.
$f(4) = 4^{\frac{5}{2}}$
Используем свойство степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае $a=4$, $n=2$ (квадратный корень), $m=5$.
$4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5$
Вычисляем квадратный корень из 4:
$\sqrt{4} = 2$
Теперь возводим полученный результат в 5-ю степень:
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
Следовательно, $f(4) = 32$.
Ответ: 32

б) f(1), если $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$;
Подставим значение $x=1$ в формулу функции $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$.
$f(1) = 1^{-\frac{4}{3}}$
Число 1 в любой степени равно 1.
$f(1) = 1$
Ответ: 1

в) f(0), если $f(x) = x^{\frac{6}{7}}$;
Подставим значение $x=0$ в формулу функции $f(x) = x^{\frac{6}{7}}$.
$f(0) = 0^{\frac{6}{7}}$
Ноль в любой положительной степени равен нулю. Так как показатель $\frac{6}{7} > 0$:
$f(0) = 0$
Ответ: 0

г) f(8), если $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.
Подставим значение $x=8$ в формулу функции $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.
$f(8) = 8^{-\frac{2}{3}}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$
Теперь вычислим знаменатель $8^{\frac{2}{3}}$, используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае $a=8$, $n=3$ (кубический корень), $m=2$.
$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2$
Вычисляем кубический корень из 8:
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Теперь возводим полученный результат во 2-ю степень:
$2^2 = 4$
Таким образом, знаменатель равен 4. Подставляем это значение обратно в дробь:
$f(8) = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$