Номер 9.10, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.10, страница 50.

9.10. Постройте график функции:

а) $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$; в) $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}};$

б) $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$; г) $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4.$

а) $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$

Данную функцию можно записать в виде $y = \sqrt{x+2}$. График этой функции можно получить, преобразовав график базовой функции $y_0 = \sqrt{x}$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Следовательно, область определения $D(y) = [-2; +\infty)$.

2. Построение графика: График функции $y = \sqrt{x+2}$ получается из графика функции $y_0 = \sqrt{x}$ сдвигом вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы влево.

3. Ключевые точки для построения:

• Начальная точка графика (вершина): при $x = -2$, $y = \sqrt{-2+2} = 0$. Точка $(-2, 0)$.
• Точка пересечения с осью ординат (Oy): при $x=0$, $y = \sqrt{0+2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$.
• Дополнительная целочисленная точка: выберем $x$ так, чтобы $x+2$ был полным квадратом, например $x=2$. Тогда $y = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2, 2)$.

График представляет собой ветвь параболы, которая "лежит на боку", с вершиной в точке $(-2, 0)$ и проходит через указанные точки, уходя вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = (x+2)^{\frac{1}{2}}$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы влево по оси Ox. Это ветвь параболы с вершиной в точке $(-2, 0)$, которая проходит, например, через точки $(0, \sqrt{2})$ и $(2, 2)$.

б) $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$

Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{x^7} - 3$. Ее график строится на основе графика базовой функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Показатель степени $\frac{7}{2}$ имеет четный знаменатель, поэтому основание степени $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Построение графика: График функции $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$ получается из графика функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$ сдвигом вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз.

3. Ключевые точки для построения:

• Начальная точка графика: при $x=0$, $y = 0^{\frac{7}{2}} - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$. Это также точка пересечения с осью Oy.
• Дополнительная точка: при $x=1$, $y = 1^{\frac{7}{2}} - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(1, -2)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс (Ox): при $y=0$, $x^{\frac{7}{2}} - 3 = 0 \implies x^{\frac{7}{2}} = 3 \implies x = 3^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{9}$. Так как $1^7=1$ и $2^7=128$, то $1 < \sqrt[7]{9} < 2$. Точка $(\sqrt[7]{9}, 0)$.

График начинается в точке $(0, -3)$ и очень быстро возрастает, будучи выпуклым вниз (вогнутым), так как показатель степени $3.5 > 1$.

Ответ: График функции $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$ является графиком функции $y = x^{\frac{7}{2}}$, сдвинутым на 3 единицы вниз по оси Oy. График выходит из точки $(0, -3)$, проходит через точку $(1, -2)$ и далее круто возрастает.

в) $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}$. График строится на основе базовой функции $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Выражение в знаменателе не должно равняться нулю.
$(x-1)^{\frac{2}{3}} \ne 0 \implies x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$.
Так как в знаменателе показателя степени стоит нечетное число 3, корень третьей степени извлекается из любого числа.
Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Построение графика: График функции $y = (x-1)^{-\frac{2}{3}}$ получается из графика функции $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$ сдвигом вдоль оси Ox на 1 единицу вправо.

3. Анализ и ключевые точки:

• Асимптоты: Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (при $x \to 1$, $y \to +\infty$). Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой (при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$).
• Симметрия: График симметричен относительно вертикальной асимптоты $x=1$.
• Значения функции: $y>0$ для всех $x$ из области определения.
• Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y = (0-1)^{-\frac{2}{3}} = (-1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Симметричная точка: при $x=2$, $y = (2-1)^{-\frac{2}{3}} = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$. Точка $(2, 1)$.

График состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости. Они симметричны относительно прямой $x=1$ и приближаются к асимптотам.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$ является графиком функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$, сдвинутым на 1 единицу вправо по оси Ox. Он имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График состоит из двух симметричных ветвей, проходящих через точки $(0, 1)$ и $(2, 1)$.

г) $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$

Перепишем функцию как $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + 4$. График строится на основе базовой функции $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Выражение в знаменателе не должно равняться нулю.
$\sqrt[3]{x} \ne 0 \implies x \ne 0$.
Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Построение графика: График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$ получается из графика функции $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$ (график, похожий на гиперболу $y=1/x$, но с другой кривизной) сдвигом вдоль оси Oy на 4 единицы вверх.

3. Анализ и ключевые точки:

• Асимптоты: Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой (при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$, $y \to -\infty$). Прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой (при $x \to \pm\infty$, $y \to 4$).
• Точка пересечения с осью Ox: при $y=0$, $x^{-\frac{1}{3}} + 4 = 0 \implies \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -4 \implies \sqrt[3]{x} = -\frac{1}{4} \implies x = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$. Точка $(-\frac{1}{64}, 0)$.
• Дополнительные точки:
  • при $x=1$, $y = 1^{-\frac{1}{3}} + 4 = 1+4=5$. Точка $(1, 5)$.
  • при $x=-1$, $y = (-1)^{-\frac{1}{3}} + 4 = -1+4=3$. Точка $(-1, 3)$.
  • при $x=8$, $y = 8^{-\frac{1}{3}} + 4 = \frac{1}{2}+4=4.5$. Точка $(8, 4.5)$.

График состоит из двух ветвей. Правая ветвь ($x>0$) лежит выше горизонтальной асимптоты $y=4$. Левая ветвь ($x<0$) пересекает ось Ox и приближается к асимптоте $y=4$ снизу.

Ответ: График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$ является графиком функции $y = x^{-\frac{1}{3}}$, сдвинутым на 4 единицы вверх по оси Oy. Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=4$, пересекает ось Ox в точке $(-\frac{1}{64}, 0)$ и проходит через точки $(1, 5)$ и $(-1, 3)$.