Номер 9.13, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.13, страница 51.

9.13. a) $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2;$

В) $y = -(x + 2)^{\frac{3}{2}} + 1;$

б) $y = - \frac{1}{\sqrt[4]{x + 4}} + 2;$

Г) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x - 3}} - 4.$

а) Для функции $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2$. Область определения $D(y)$: выражение $(x-1)^{\frac{2}{3}}$ можно записать как $\sqrt[3]{(x-1)^2}$. Выражение $(x-1)^2$ определено для любого действительного $x$, и кубический корень также определен для любого действительного числа. Следовательно, область определения функции — все действительные числа. $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y)$: так как $(x-1)^2 \ge 0$, то и $(x - 1)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-1)^2} \ge 0$. Умножая на 2, получаем $2(x - 1)^{\frac{2}{3}} \ge 0$. Вычитая 2 из обеих частей, находим, что $y = 2(x - 1)^{\frac{2}{3}} - 2 \ge -2$. Таким образом, область значений функции $E(y) = [-2; +\infty)$. Ответ: Область определения $D(y): (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y): [-2; +\infty)$.

б) Для функции $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2$. Область определения $D(y)$: для существования функции необходимо, чтобы подкоренное выражение корня четной степени было неотрицательным ($x+4 \ge 0$) и знаменатель не был равен нулю ($\sqrt[4]{x+4} \neq 0$). Объединение этих условий дает строгое неравенство $x+4 > 0$, откуда $x > -4$. Таким образом, $D(y) = (-4; +\infty)$. Область значений $E(y)$: из условия $x > -4$ следует, что $x+4 > 0$, а значит $\sqrt[4]{x+4} > 0$. Тогда дробь $\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$ всегда положительна. Умножая ее на -1, получаем $-\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} < 0$. Прибавив 2, имеем $y = -\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} + 2 < 2$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; 2)$. Ответ: Область определения $D(y): (-4; +\infty)$, область значений $E(y): (-\infty; 2)$.

в) Для функции $y = -(x + 2)^{\frac{3}{2}} + 1$. Область определения $D(y)$: выражение $(x+2)^{\frac{3}{2}}$ можно записать как $\sqrt{(x+2)^3}$. Подкоренное выражение корня четной степени (квадратного корня) должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$. Отсюда следует, что $x \ge -2$. Таким образом, $D(y) = [-2; +\infty)$. Область значений $E(y)$: при $x \ge -2$, выражение $x+2 \ge 0$, следовательно, $(x+2)^{\frac{3}{2}} \ge 0$. Умножая на -1, получаем $-(x+2)^{\frac{3}{2}} \le 0$. Прибавив 1, имеем $y = -(x+2)^{\frac{3}{2}} + 1 \le 1$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; 1]$. Ответ: Область определения $D(y): [-2; +\infty)$, область значений $E(y): (-\infty; 1]$.

г) Для функции $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x-3}} - 4$. Область определения $D(y)$: кубический корень определен для любого действительного числа. Единственное ограничение накладывается знаменателем, который не должен быть равен нулю: $\sqrt[3]{x-3} \neq 0$. Это равносильно условию $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Область значений $E(y)$: выражение $\sqrt[3]{x-3}$ может принимать любое действительное значение, кроме 0. Следовательно, дробь $\frac{2}{\sqrt[3]{x-3}}$ также может принимать любое действительное значение, кроме 0. Тогда функция $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x-3}} - 4$ может принимать любое значение, кроме $0 - 4 = -4$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$. Ответ: Область определения $D(y): (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$, область значений $E(y): (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.