Номер 9.9, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Степенная функция, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 9.9, страница 50.

9.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x^{-\frac{2}{3}}$

а) на отрезке $[1; 8];$

б) на интервале $(3; 5);$

в) на луче $[1; +\infty);$

г) на полуинтервале $(0; 1].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$ исследуем ее на монотонность. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. На всех заданных промежутках $x>0$. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{-\frac{2}{3}})' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$. Поскольку для любого $x > 0$ выражение $\sqrt[3]{x^5}$ положительно, производная $y'$ всегда отрицательна ($y' < 0$) при $x > 0$. Следовательно, функция $y = x^{-\frac{2}{3}}$ является строго убывающей на интервале $(0; +\infty)$.

а) на отрезке [1; 8]. Так как функция строго убывает на отрезке $[1; 8]$, она принимает наибольшее значение в левой крайней точке ($x=1$), а наименьшее — в правой крайней точке ($x=8$). Наибольшее значение: $y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$. Наименьшее значение: $y(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, наибольшее значение равно 1.

б) на интервале (3; 5). Функция строго убывает на интервале $(3; 5)$. Поскольку интервал открытый, функция не достигает своих точных верхней и нижней граней. Значения функции на этом интервале лежат между $y(5)$ и $y(3)$: $y(5) = 5^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$ и $y(3) = 3^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$. Однако, так как точки $x=3$ и $x=5$ не принадлежат интервалу, наибольшее и наименьшее значения не достигаются. Ответ: наибольшего и наименьшего значений на данном интервале не существует.

в) на луче [1; +∞). Функция строго убывает на луче $[1; +\infty)$. Наибольшее значение достигается в левой крайней точке $x=1$, так как она включена в промежуток: $y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$. При $x \to +\infty$ значение функции стремится к нулю: $\lim_{x \to +\infty} x^{-\frac{2}{3}} = 0$. Однако значение $0$ не достигается ни при каком конечном значении $x$. Следовательно, наименьшего значения на этом луче не существует. Ответ: наибольшее значение равно 1, а наименьшего значения не существует.

г) на полуинтервале (0; 1]. Функция строго убывает на полуинтервале $(0; 1]$. Наименьшее значение достигается в правой крайней точке $x=1$, так как она включена в промежуток: $y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$. При $x \to 0^+$ (приближении к нулю справа) значение функции неограниченно возрастает: $\lim_{x \to 0^+} x^{-\frac{2}{3}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty$. Следовательно, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения на этом полуинтервале не существует. Ответ: наименьшее значение равно 1, а наибольшего значения не существует.