Номер 8.34, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.34, страница 48.

8.34. a) $\frac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b}$

б) $\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}$.

a)

Упростим выражение $ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} $. Область допустимых значений: $a \ge 0, b \ge 0, a \ne b$.

Преобразуем каждую дробь по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.

Для первой дроби используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Представим числитель $a-b$ как $ (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 $:

$ \frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $

Для второй дроби используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ и разности квадратов. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$ a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3 - (b^{\frac{1}{2}})^3 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) $

$ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $

Теперь сократим вторую дробь:

$ \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a - b} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Теперь выполним вычитание упрощенных выражений:

$ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) - \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Приведем к общему знаменателю $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} - \frac{a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 - (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Раскроем скобки в числителе. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$ \frac{(a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b) - (a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b - a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} - b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

Результат также можно записать в виде корней: $ \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $.

Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $

б)

Упростим выражение $ \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $. Область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0, x \ne y$.

Заметим, что $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $ и $ \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} $. Перепишем выражение:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) $.

Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, упростим общий знаменатель:

$ (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = x - y $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $x-y$ и сложим их числители:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) + y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x-y} $

Раскроем скобки в числителе:

$ x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = x - (xy)^{\frac{1}{2}} + (xy)^{\frac{1}{2}} + y = x+y $

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{x+y}{x-y} $

Ответ: $ \frac{x+y}{x-y} $