Номер 8.30, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.30, страница 48.

8.30. a) $\frac{c + c^{1/2}d^{1/2} + d}{c^{3/2} - d^{3/2}};$

б) $\frac{m + n}{m^{2/3} - m^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}.$

a)

Чтобы упростить данное выражение, необходимо заметить, что числитель и знаменатель являются частями формулы разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Рассмотрим знаменатель $c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}}$. Его можно представить как разность кубов, если взять $a = c^{\frac{1}{2}}$ и $b = d^{\frac{1}{2}}$. Тогда:

$a^3 = (c^{\frac{1}{2}})^3 = c^{\frac{3}{2}}$

$b^3 = (d^{\frac{1}{2}})^3 = d^{\frac{3}{2}}$

Применяя формулу разности кубов, получаем:

$c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}} = (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}) \cdot ((c^{\frac{1}{2}})^2 + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + (d^{\frac{1}{2}})^2) = (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)$.

Теперь подставим полученное разложение в исходную дробь:

$\frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}}} = \frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{(c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)}$

Сократим общий множитель $(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{1}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}}$.

б)

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Рассмотрим числитель $m + n$. Его можно представить как сумму кубов, если взять $a = m^{\frac{1}{3}}$ и $b = n^{\frac{1}{3}}$. Тогда:

$a^3 = (m^{\frac{1}{3}})^3 = m$

$b^3 = (n^{\frac{1}{3}})^3 = n$

Применяя формулу суммы кубов, получаем:

$m + n = (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}) \cdot ((m^{\frac{1}{3}})^2 - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2) = (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})$.

Теперь подставим полученное разложение в исходную дробь:

$\frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} = \frac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}$

Сократим общий множитель $(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})$ в числителе и знаменателе:

$m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}$.