Номер 7.35, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.35, страница 42.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

7.35. а) $ \frac{1}{3\sqrt{2}} $;

б) $ \frac{3}{2\sqrt[3]{9}} $;

в) $ \frac{8}{\sqrt[5]{16}} $;

г) $ \frac{12}{7\sqrt[6]{243}} $.

а) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{3\sqrt{2}}$, нужно умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{2}$. Это действие не изменит значение дроби, но позволит убрать корень из знаменателя, так как по определению $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$.
Выполним умножение:
$\frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$.
Теперь знаменатель равен 6, что является рациональным числом.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{6}$.

б) В знаменателе дроби $\frac{3}{2\sqrt[3]{9}}$ находится кубический корень. Для избавления от иррациональности нужно сделать подкоренное выражение полным кубом. Сначала представим число 9 в виде степени: $9 = 3^2$. Тогда дробь имеет вид $\frac{3}{2\sqrt[3]{3^2}}$. Чтобы получить под корнем $3^3$, нужно домножить $\sqrt[3]{3^2}$ на $\sqrt[3]{3}$. Умножим на этот множитель числитель и знаменатель дроби.
$\frac{3}{2\sqrt[3]{9}} = \frac{3}{2\sqrt[3]{3^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{2\sqrt[3]{3^3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{2 \cdot 3}$.
Сократим множитель 3 в числителе и знаменателе:
$\frac{3\sqrt[3]{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt[3]{3}}{2}$.
Знаменатель стал рациональным числом 2.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$.

в) Знаменатель дроби $\frac{8}{\sqrt[5]{16}}$ содержит корень пятой степени. Чтобы от него избавиться, нужно, чтобы подкоренное выражение стало числом в пятой степени. Представим $16$ как степень числа 2: $16 = 2^4$. Дробь принимает вид $\frac{8}{\sqrt[5]{2^4}}$. Чтобы под корнем получить $2^5$, необходимо домножить $\sqrt[5]{2^4}$ на $\sqrt[5]{2}$. Умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[5]{2}$.
$\frac{8}{\sqrt[5]{16}} = \frac{8}{\sqrt[5]{2^4}} = \frac{8 \cdot \sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^4} \cdot \sqrt[5]{2}} = \frac{8\sqrt[5]{2}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{8\sqrt[5]{2}}{2}$.
Сократим полученное выражение:
$\frac{8\sqrt[5]{2}}{2} = 4\sqrt[5]{2}$.
Знаменатель стал равен 1, что является рациональным числом.
Ответ: $4\sqrt[5]{2}$.

г) В знаменателе дроби $\frac{12}{7\sqrt[6]{243}}$ находится корень шестой степени. Разложим подкоренное число 243 на простые множители: $243 = 3^5$. Дробь можно записать как $\frac{12}{7\sqrt[6]{3^5}}$. Чтобы под корнем получить шестую степень, нужно домножить $\sqrt[6]{3^5}$ на $\sqrt[6]{3}$. Умножим на этот множитель числитель и знаменатель.
$\frac{12}{7\sqrt[6]{243}} = \frac{12}{7\sqrt[6]{3^5}} = \frac{12 \cdot \sqrt[6]{3}}{7\sqrt[6]{3^5} \cdot \sqrt[6]{3}} = \frac{12\sqrt[6]{3}}{7\sqrt[6]{3^6}} = \frac{12\sqrt[6]{3}}{7 \cdot 3} = \frac{12\sqrt[6]{3}}{21}$.
Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3.
$\frac{12\sqrt[6]{3}}{21} = \frac{4\sqrt[6]{3}}{7}$.
Знаменатель стал рациональным числом 7.
Ответ: $\frac{4\sqrt[6]{3}}{7}$.