Номер 7.50, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 7. Преобразование иррациональных выражений. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 7.50, страница 44.

Проверьте равенство:

7.50. a) $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})} = 1;$

б) $\frac{2\sqrt[3]{2}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{20 + 12\sqrt{3}}}{2 + \sqrt{3}}.$

а)

Для проверки равенства $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3}) = 1$ преобразуем его левую часть.

Сначала упростим выражение $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$. Можно заметить, что подкоренное выражение может быть представлено в виде куба суммы. Проверим, является ли оно кубом выражения $(2 + \sqrt{3})$.

Используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, раскроем скобки:

$(2 + \sqrt{3})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = (8+18) + (12+3)\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}$.

Таким образом, мы показали, что $26 + 15\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^3$.

Отсюда следует, что $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{3})^3} = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного равенства:

$\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Левая часть равенства равна 1, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б)

Для проверки равенства $\frac{2\sqrt[3]{2}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{20 + 12\sqrt{3}}}{2 + \sqrt{3}}$ преобразуем правую часть.

Упростим выражение под кубическим корнем в числителе: $20 + 12\sqrt{3}$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $20 + 12\sqrt{3} = 2(10 + 6\sqrt{3})$.

Теперь попробуем представить выражение $10 + 6\sqrt{3}$ в виде куба. Проверим гипотезу, что это $(1+\sqrt{3})^3$:

$(1+\sqrt{3})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3} + 3 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3}$.

Гипотеза верна. Значит, $20 + 12\sqrt{3} = 2(1+\sqrt{3})^3$.

Теперь можем упростить кубический корень:

$\sqrt[3]{20 + 12\sqrt{3}} = \sqrt[3]{2(1+\sqrt{3})^3} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3} = \sqrt[3]{2}(1+\sqrt{3})$.

Подставим это выражение в правую часть исходного равенства:

$\frac{\sqrt[3]{20 + 12\sqrt{3}}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{2}(1+\sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$.

Теперь исходное равенство можно переписать в виде:

$\frac{2\sqrt[3]{2}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{2}(1+\sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$.

Сократим обе части на $\sqrt[3]{2}$ (поскольку $\sqrt[3]{2} \neq 0$):

$\frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$.

Для проверки этого равенства воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2(2 + \sqrt{3}) = (1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})$.

$4 + 2\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^2$.

$4 + 2\sqrt{3} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$.

$4 + 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3$.

$4 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$.

Мы получили тождество, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: равенство верно.