Номер 8.1, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.1, страница 45.

8.1. Имеет ли смысл выражение:

а) $5^{-\frac{4}{3}}$;

б) $(-16)^{\frac{2}{3}}$;

в) $23^{-\frac{3}{2}}$;

г) $(-25)^{-\frac{1}{2}}$?

а) Выражение $a^x$, где $a$ - основание, а $x$ - показатель степени, имеет смысл для любого рационального показателя $x$, если основание $a > 0$. В данном случае основание равно $5$, что больше нуля ($5 > 0$), а показатель степени равен $-\frac{4}{3}$. Так как основание положительное, выражение имеет смысл. Его можно записать в виде корня: $5^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$.
Ответ: да, имеет смысл.

б) Для степенного выражения с отрицательным основанием $a < 0$ и рациональным показателем $x = \frac{m}{n}$ (где дробь несократима) выражение имеет смысл только в том случае, если знаменатель $n$ является нечетным числом. В выражении $(-16)^{\frac{2}{3}}$ основание $a = -16$ отрицательное, а показатель $x = \frac{2}{3}$. Дробь $\frac{2}{3}$ несократима, и ее знаменатель $n = 3$ является нечетным числом. Следовательно, выражение имеет смысл. Оно равно $\sqrt[3]{(-16)^2} = \sqrt[3]{256}$.
Ответ: да, имеет смысл.

в) В выражении $23^{-\frac{3}{2}}$ основание $a = 23$ является положительным числом ($23 > 0$). Для положительного основания степень с любым рациональным показателем определена. Таким образом, данное выражение имеет смысл. Его можно представить как $\frac{1}{23^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{23^3}}$.
Ответ: да, имеет смысл.

г) В выражении $(-25)^{-\frac{1}{2}}$ основание $a = -25$ отрицательное. Согласно правилу для степеней с отрицательным основанием и рациональным показателем, выражение имеет смысл, только если знаменатель показателя (в несократимой дроби) нечетный. Показатель степени здесь $-\frac{1}{2}$. Знаменатель равен $2$, что является четным числом. Это означает, что для вычисления выражения требуется извлечь корень четной степени из отрицательного числа: $(-25)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(-25)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{-25}}$. В области действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не определен.
Ответ: нет, не имеет смысла.