Номер 8.5, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.5, страница 45.

8.5. a) $(2a)^{\frac{1}{3}};$

б) $3(x - y)^{\frac{2}{3}};$

в) $(2b)^{\frac{1}{4}};$

г) $3(a + b)^{\frac{3}{4}}.$

а) Чтобы представить выражение $(2a)^{\frac{1}{3}}$ в виде корня, используется общее правило преобразования степени с рациональным показателем: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. В данном случае основанием является выражение $2a$, числитель показателя степени $m=1$, а знаменатель (показатель корня) $n=3$.

Применяя правило, получаем:

$(2a)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(2a)^1} = \sqrt[3]{2a}$

Ответ: $\sqrt[3]{2a}$.

---

б) В выражении $3(x - y)^{\frac{2}{3}}$ числовой коэффициент 3 остается без изменений, а степень $(x - y)^{\frac{2}{3}}$ преобразуется в корень. Основанием является выражение $(x - y)$, числитель показателя степени $m=2$, а знаменатель (показатель корня) $n=3$.

Преобразование выглядит следующим образом:

$(x - y)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x - y)^2}$

Таким образом, всё выражение равно:

$3(x - y)^{\frac{2}{3}} = 3\sqrt[3]{(x - y)^2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{(x - y)^2}$.

---

в) Для выражения $(2b)^{\frac{1}{4}}$ снова применяем правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. Здесь основание равно $2b$, числитель показателя степени $m=1$, а знаменатель (показатель корня) $n=4$.

Выполняем преобразование:

$(2b)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{(2b)^1} = \sqrt[4]{2b}$

Ответ: $\sqrt[4]{2b}$.

---

г) В выражении $3(a + b)^{\frac{3}{4}}$ коэффициент 3 сохраняется, а степень $(a + b)^{\frac{3}{4}}$ преобразуется в корень. Основанием является $(a + b)$, числитель показателя степени $m=3$, а знаменатель (показатель корня) $n=4$.

Сначала преобразуем степень:

$(a + b)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(a + b)^3}$

Затем дописываем коэффициент 3:

$3(a + b)^{\frac{3}{4}} = 3\sqrt[4]{(a + b)^3}$

Ответ: $3\sqrt[4]{(a + b)^3}$.