Номер 8.2, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 8.2, страница 45.

Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

8.2. a) $5^{\frac{2}{3}};$

б) $3^{3 \frac{1}{2}};$

в) $6^{-\frac{3}{8}};$

г) $4^{3 \frac{1}{4}}.$

а)

Чтобы представить степень с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ в виде корня, используется формула $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В этой формуле знаменатель дроби $n$ становится показателем корня, а числитель $m$ — показателем степени подкоренного выражения.

В выражении $5^{\frac{2}{3}}$ основание $a = 5$, числитель показателя $m = 2$, а знаменатель показателя $n = 3$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2}$

Вычислим степень под корнем: $5^2 = 25$.

Таким образом, окончательный вид выражения: $\sqrt[3]{25}$.

Ответ: $\sqrt[3]{25}$

б)

Сначала необходимо преобразовать смешанное число $3\frac{1}{2}$ в показателе степени в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь выражение имеет вид $3^{\frac{7}{2}}$. Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: $3^{\frac{7}{2}} = \sqrt[2]{3^7}$

Корень второй степени (квадратный корень) принято записывать без показателя 2, поэтому получаем $\sqrt{3^7}$.

Это выражение можно упростить, вынеся множитель из-под знака корня. Представим $3^7$ как $3^6 \cdot 3$: $\sqrt{3^7} = \sqrt{3^6 \cdot 3} = \sqrt{(3^3)^2 \cdot 3} = 3^3\sqrt{3}$

Вычислив $3^3 = 27$, получаем окончательный упрощенный вид.

Ответ: $27\sqrt{3}$

в)

Используем ту же формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ для выражения $6^{\frac{3}{8}}$. Здесь основание $a = 6$, числитель $m = 3$, знаменатель $n = 8$.

Подставляем в формулу: $6^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{6^3}$

Вычислим значение подкоренного выражения: $6^3 = 216$

Таким образом, получаем $\sqrt[8]{216}$.

Ответ: $\sqrt[8]{216}$

г)

Первым шагом преобразуем смешанное число $3\frac{1}{4}$ в показателе в неправильную дробь: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Выражение принимает вид $4^{\frac{13}{4}}$. Применяем правило $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: $4^{\frac{13}{4}} = \sqrt[4]{4^{13}}$

Это выражение можно упростить. Представим основание 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. $\sqrt[4]{4^{13}} = \sqrt[4]{(2^2)^{13}} = \sqrt[4]{2^{26}}$

Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разделим показатель степени под корнем (26) на показатель корня (4) с остатком: $26 = 6 \cdot 4 + 2$. Следовательно: $\sqrt[4]{2^{26}} = \sqrt[4]{2^{6 \cdot 4} \cdot 2^2} = \sqrt[4]{(2^6)^4 \cdot 2^2} = 2^6 \sqrt[4]{2^2}$

Упростим оставшиеся части: $2^6 = 64$ и $\sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$ (показатель корня 4 и показатель степени 2 можно сократить на 2).

Собирая все вместе, получаем: $64\sqrt{2}$.

Ответ: $64\sqrt{2}$